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06022


Physik Wintersemester 2002/2003
06022 Komplexe Zahlen, Quaternionen, Oktaven [V]
   
Dozent Eschenburg
Dauer 2 SWS
Studiensemester 3
Schein Ja (Klausur)
Termin Mi, 08:30-10:00, 1009/NW I
Inhalt Die Geschichte der Mathematik ist auch die Geschichte der Zahlbereichserweiterungen: Von den natürlichen Zahlen und ihren Verhältnissen (den positiven Brüchen) zu den positiven reellen Zahlen zwischen 500 und 350 v.Chr., vom Zahlenstrahl zur reellen Zahlengerade (um 1400 n.Chr.) und schließlich zur komplexen Zahlenebene; dieser Prozess dauerte von 1500 bis 1800. Im 19. Jahrhundert entdeckten die Mathematiker Hamilton und Cayley, dass sich auch die komplexe Zahlenebene noch erweitern lässt, nämlich zu einem 4-dimensionalen Zahlenraum, den Quaternionen, und sogar zu einem 8-dimensionalen, den Oktaven. Damit ist allerdings wirklich das Ende erreicht; eine nochmalige Erweiterung gibt es nicht, wenn die Division noch möglich bleiben soll. Diese tiefliegende Tatsache wurde erst um 1960 von dem Topologen J.F.Adams bewiesen.

Wir wollen in der Vorlesung diese drei "Divisionsalgebren" C, H und O (komplexe Zahlen, Hamiltonsche Quaternionen und Cayleysche Oktaven) und ihre Automorphismen kennenlernen und vergleichen und einige der Konsequenzen studieren. Viele spezielle Phänomene, die nur in bestimmten Dimensionen auftreten (z.B. das Kreuzprodukt im dreidimensionalen und im siebendimensionalen euklidischen Raum), hängen damit zusammen. Wir wollen schließlich versuchen, wenigstens einige Grundgedanken des Adam'schen Beweises zu verstehen; dies wird uns aus der Algebra in die Topologie führen. Herr Lohkamp hat in seiner Linearen Algebra II diesen Zusammenhang bereits angedeutet.

Die Vorlesung wendet sich an alle Studierenden mit Interesse an zentralen Ideen der Mathematik, insbesondere auch Studierende des Lehramts an Gymnasien und theoretisch interessierte Physikerinnen und Physiker.

Vorkenntnisse Analysis I, II und Lineare Algebra I, II
Literatur H.D.Ebbinghaus et al.: Zahlen. Springer "Grundwissen Mathematik I", 1983
Weitere Informationen Für Lehrkräfte empfohlen *)