Unterabschnitte

• 8.1 Wechselverformung (Ermüdung)
• 8.2 Weitere Verformungsmechnismen - mechanische Zwillingsbildung, Korngrenzenkriechen, Superplastizität
  • 8.2.1 Kriechen, Korngrenzgleitung, Superplastizität
  
  
• 8.3 Bruch

8. Ermüdung, Bruch und Erholung

8.1 Wechselverformung (Ermüdung)

Wechselverformung ist eine Materialbeanspruchung, die im realen Einsatz beispielsweise bei einem schwingenden Bauteil häufig zu finden ist und auch oft zum Versagen, zum sogenannten Ermüdungsbruch führt.

Abbildung: Modellhafte und experimentell ermittelte Woehlerkurven

Im Labor wird häufig der symmetrische Zug-Druck-Versuch als Modell hierfür benutzt: die geeignet eingespannte Probe wird mit konstanter Dehngeschwindigekeit gedehnt und um den gleichen Betrag gestaucht, entweder, wie in der Abbildung, mit konstanter Dehnungs- oder mit konstanter Spannungsamplitude. Trägt man die Spannungsamplitude $\sigma$, die für einen Ermüdungsbruch nach $N$ Zyklen nötig ist, gegen $N$ auf, ergibt sich die sogenannte Wöhlerkurve. Häufig weist sie einen Grenzwert $\sigma_c$ auf, so dass, falls man unter dieser Lastgrenze bleibt, das Bauteil nicht durch Ermüdungsbruch gefährdet ist (typisch $\sigma_{c} \approx 0.3 \cdots 0.5$ der Zerreißfestigkeit). Eine Ermüdungsgrenze findet man z.B. in Kohlenstoffstählen, in denen die Versetzungen immer wieder durch die bei Raumtemperatur beweglichen C-Atome gepinnt werden, nicht aber in austenitischen (fcc) Stählen. Bleibt man also unter dem Spannungslimit ist (theoretisch) die Lebensdauer unbegrenzt, bei Werkstoffen ohne eine solche Grenze tritt mit Sicherheit irgendwann ein Versagen auf. Durch entsprechendes Design muss dann dafür gesorgt werden, dass das Versagen nicht während der geplanten Lebensdauer eines Produkts eintritt. Eine andere Darstellung ist die zyklische Spannungs-Dehnungskurve: hier trägt man die maximalen Spannungswerte gegen die akkumulierte Dehnung auf. Bei Wechselverformung findet man oft im Gegensatz zu dem Verhalten bei monotoner Verformung ein ``strain softening'', also ein weicherwerden des Materials (``Entfestigung'').

Abbildung: Verlauf der Spannung mit zunehmender kumulierter Dehnung für unterschiedliche Materialien. Besonders in ausscheidungsgehärtetem Material findet man eine Entfestigung.

Ursache hierfür ist die Versetzungsbewegung hin und her (die schon bei Spannungen unterhalb von $\tau_c$ stattfindet!) Dabei werden Versetzungsloops periodisch ausgezogen, die Stufenanteile bilden stabile Dipol-/Multipolkonfigurationen. Die Schraubenanteile laufen weiter und annihilieren möglicherweise. durch Quergleitung.

Abbildung: Schema der Versetzungsanordnung in wechselverformten Proben: Neben dichte Versetzungsbündeln (``veins'') bilden sich persistente Gleitbänder (PSBs)

Mikroskopisch weisen wechselverformte Proben meist eine ganz andere Versetzungsanordnung auf als einsinnig verformte. Dies liegt daran, dass eine unter Zug entstandene Versetzungsanordnung nach Spannungsumkehr nicht unbedingt stabil ist, die Verfestigung geht zum Teil wieder verloren, was als Bauschinger-Effekt bezeichnet wird. Nach einer gewissen Zahl von Zyklen bilden sich dann lokal in der Probe Bereiche scharfer Versetzungsanordnungen, sogenannte persistente Gleitbänder (PSB), in denen das Material leichter verformbar ist als die umgebende Matrix. Die Durchtritte solcher PSBs an der Oberfläche sind häufig Ausgangspunkt für Ermüdungsrisse. Ein besonders einfaches Modell für die Rissentstehung ist das von Neumann: an der Oberfläche entsteht etwa durch ein PSB eine Stufe, die aber im nächsten Schritt wieder durch Verformung auf einer zweiten Gleitebene geschlossen wird. In vielen Schritten wird Material von der Oberfläche in die Tiefe transportiert, was, wenn die Oberfläche verunreinigt war, zum Bruch führt.

8.2 Weitere Verformungsmechnismen - mechanische Zwillingsbildung, Korngrenzenkriechen, Superplastizität

Bei tiefer Temperatur kann anstelle der inhomogenen Verformung durch Versetzungsgleitung eine homogene Deformation, die mechanische Zwillingsbildung stattfinden. Wie im ersten Teil der Vorlesung erklärt, bedeutet Zwillingsbildung im fcc-Gitter eine Spiegelung an einer $(111)$-Ebene, so dass die Stapelfolge umgekehrt wird:

$$\begin{eqnarray*} &ABCABCABCABCABCABCACBACBACBACBACBAC \atop \uparrow&\\ &\mathrm{Zwillingsgrenze}& \end{eqnarray*}$$

Zum zweiten hatten wir gesehen, dass eine Shockley-Partialversetzung einen Stapelfehler erzeugt, also z.B. eine A- in eine B-Ebene überführt:

$$\begin{eqnarray*} {ABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABC \atop \uparrow} \\ ... ...\\ {ABCABCABCABCABCABCBACABCABCABCABCABC \atop \uparrow}\\ \end{eqnarray*}$$

Abbildung: Der Polmechanismus für die mechanische Zwillingsbildung: eine Partialversetzung läuft um eine Schraube herum und erzeugt bei jedem Umlauf eine Lamelle verzwillingten Bereichs.

Läuft über jede Ebene ab der Zwillingsebene eine Shockley-Partialversetzung, entsteht also ein Zwilling. Eine solche kollektive Versetzungsbewegung ist allerdings wenig wahrscheinlich. Es wurde daher der sogenannte Pol-Mechanismus vorgeschlagen, bei dem eine Shockley-Partialversetzung auf eine Schraube stößt, eine Hälfte um die Schraube wie auf einer Wendeltreppe hinaufklettert und damit den Zwilling erzeugt. Ein Einwand gegen dieses Modell ist allerdings, dass die zwei Partialversetzungsarme auf atomarem Abstand aneinander vorbeilaufen müssen, was auf extrem hohe Spannungen für den Einsatz von mechanischer Zwillingsbildung führt. Ein Mechanismus, der dieses Problem vermeidet, wurde von Venables vorgeschlagen: ein langer Jog auf einer Schraubenversetzung sei in eine (unbewegliche) Frank- und eine (mobile) Shockley-Partialversetzung aufgespalten:

$$\frac{a}{2} [110] \rightarrow \frac{a}{6} [112] + \frac{a}{3} [11\bar{1}]$$ (8.1)

Die Shockley-Partialversetzung baucht sich unter der äußeren Spannung aus und windet sich um die Schraubensegmente herum. Allerdings kann sich der Ring nicht schließen, da die hinteren Segmente auf benachbarten Gleitebenen liegen. Jedoch kann ein Teil sich wieder mit der Frank-Partialversetzung vereinigen und auf die nächste Ebene gleiten. Nun wiederholt sich der Prozeß und das nun erzeugte Segment kann sich mit dem des ersten Rings annihilieren und auf diese Weise eine ``einatomige Zwillingsschicht'' erzeugen. Fortsetzung dieses Prozesses führt schließlich auf eine ausgedehnte Zwillingslamelle, die von einer spiralförmigen Shockley-Partialversetzung umrandet ist. Hat die Zwillingslamelle eine gewisse Dicke erreicht, kann auch der einfache Polmechanismus einsetzen. Der mechanischen Zwillingsbildung ähnlich ist die Bildung von spannungsinduziertem Martensit, wobei aber das Gitter nicht invariant bleibt sondern eine (leicht) andere Struktur bekommt.

8.2.1 Kriechen, Korngrenzgleitung, Superplastizität

Bei höherer Temperatur kann unter einer konstanten Last eine stationäre Verformungsrate gefunden werden, die verschiedene Ursachen haben kann:

• bei hohen Spannungen: Versetzungsgleiten ( $\sigma \ge 10^{-3} \, G$)
• bei $\sigma \ge 10^{-3} \, G, T \, \ge 0.4 \, T_m$:
  Versetzungskriechen = Klettern von Stufen (erfordert Diffusion)
  
  

  $$\dot{\epsilon} = \frac{\tilde D \cdot G \cdot b}{kT} \,(\frac{\tau}{G})^n$$ (8.2)

  
  

• bei noch geringeren Spannungen und $T \ge 0.5 \,T_m$:
  Diffusionskriechen (entweder dominiert durch KG-Diffusion oder Volumendiffusion, je nach Temperatur)

Korngrenzgleitung
Bei hoher Temperatur kann in Vielkristallen eine Verschiebung der Körner gegeneinander zu einer plastischen Verformung führen. Dies ist um so einfacher, je feiner das Korn ist - anders als bei tiefen Temperaturen, wo ja (beschrieben durch die Hall-Petch-Beziehung) feines Korn hohe Festigkeit bedeutet. Ein von Ashby vorgeschlagener Prozess erklärt dies in folgender Weise: die äußere Schubspannung erzeugt in den Korngrenzen Normalspannungen. Dadurch findet ein Leerstellenstrom entgegen diesen Spannungen statt, es wird also Materie von der einen zur anderen Korngrenze transportiert. Man erhält aus diesem Modell für die Korngrenzgeschwindigkeit, das sog. Diffusionskriechen (Nabarro-Herring-Kriechen,falls $D_{M} \ge D_kG$ ist, Coble-Kriechen, falls $D_{M} \le D_kG$ ist)

$$\dot u = \frac{8}{\pi} \frac{\tau \omega}{kT} \frac{\lambda}{h^2} D_{M} (1 + \frac{\pi \delta}{\lambda} \frac{D_kG}{D_M})\,.$$ (8.3)

$\lambda$ ist die ``Periode'' der Körner (Lateralausdehnung) $h$ ihre Höhe, $\tau$ die wirkende Scherspannung. Ein Material mit kleiner ``Welligkeit'' der Korngrenzen setzt dem Diffusionskriechen relativ wenig Widerstand entgegen. Wolframdrähte in Glühlampen besitzen aufgrund des Drahtziehens extrem langgestreckte Körner, so dass senkrecht zu den Körnern eine extreme Welligkeit, also eine relativ hohe Stabilität vorliegt. Dies wird technisch noch verstärkt durch Kaliumausscheidungen auf der Korngrenze, die die Welligkeit noch erhöhen. Superplastizität
Eng verbunden mit der Korngrenzgleitung ist das Phänomen der Superplastizität. Hinreichend feinkörnige Metalle und Keramiken lassen sich bei hohen Temperaturen extrem dehnen, ohne dass es zum Bruch kommt. Entscheidend hierfür ist neben der leichten Verformbarkeit die richtige Spannungsabhängigkeit der Verformungsgeschwindigkeit,

$$m = \frac{\partial \ln \sigma}{\partial \ln \dot{\epsilon}}\,.$$ (8.4)

Bei normaler Plastizität findet man m-Werte von ca. $1/2$, während bei Superplastizität $m \approx 1$ sein muss. Dies ergibt sich aus der Bedingung für plastische Stabilität für einen Zugversuch:

$$\frac{\delta \dot{A}}{\delta A} < 0\,,$$ (8.5)

die bedeutet, dass, wenn irgendwo eine Einschnürung auftritt, dort die Verformungsgeschwindigkeit reduziert sein muss. Die Variation der Kraft soll bei stabiler Verformung verschwinden. Sie kann durch eine Variation der Spannung $\sigma$ oder durch eine Variation des Querschnitts $A$ verursacht sein:

$$\delta F = 0$$

$$= \sigma \delta A + A \cdot \delta \sigma$$ (8.6)

Da $\sigma=\sigma (\epsilon, \dot{\epsilon})$ ist, gilt

$$\delta \sigma = \frac{\partial \sigma}{\partial \epsilon} \... ...\partial \sigma}{\partial \dot\epsilon}\delta \dot\epsilon\,.$$ (8.7)

Der Verfestigungskoeffizient $\Theta$ ist definiert als

$$\Theta = \frac{1}{\sigma} \frac{\partial \sigma}{\partial \epsilon}\,,$$ (8.8)

die Geschwindigkeitsempfindlichkeit

$$m = \frac{\dot{\epsilon}}{\sigma} \frac{\partial \sigma}{\partial \dot{\epsilon}}\,.$$ (8.9)

Damit wird

$$\delta \sigma = \sigma \cdot \Theta \cdot \delta \epsilon + \frac{\sigma \,m}{\dot{\epsilon} }\cdot \delta \dot\epsilon$$ (8.10)

Die Dehnung $\epsilon = \delta l/l$ ist wegen deren Volumenkonstanz

$$\epsilon = -\frac{\delta A}{A}\,,$$ (8.11)

und damit gilt auch $\delta \epsilon = -\frac{\delta A}{A}$ für die Änderung der lokalen Dehnung in der Einschnürung. Die Dehngeschwindigkeit $\dot\epsilon$ ist

$$\dot\epsilon = -\frac{\dot A}{A}\,,$$ (8.12)

also

$$\delta \dot\epsilon = - \frac{A \delta \dot A - \dot A \delta A}{A^2}$$

$$= \frac{\dot A}{A^2} \delta A - \frac{\delta \dot A}{A}$$

$$\Rightarrow \frac{\delta \dot\epsilon}{\dot\epsilon} = \frac{\delta \dot A}{\dot A} - \frac{\delta A}{A}$$ (8.13)

In Gleichung eingesetzt, wird die Variation der Spannung

$$\delta \sigma = -\sigma \cdot \Theta \frac{\delta A}{A} - \... ...ac{\delta A}{A} + \sigma \cdot m \frac{\delta \dot A}{\dot A}$$ (8.14)

Also ist

$$0 = \sigma \cdot \delta A - (\sigma \cdot\Theta + \sigma \cdot m)\, \delta A + \delta \cdot m \,\frac{A}{\dot A} \delta \dot A$$

$$(\Theta + m - 1) \delta A = m \cdot \frac{A}{\dot A}\, \frac{\delta \dot A}{\delta A}$$

Der Faktor $\frac{A}{\dot A}$ ist negativ ($\dot A < 0$), also muss für plastische Stabilität

$$\Theta + m - 1 > 0$$ (8.15)

sein. Bei hohen Temperaturen ist die Verfestigung sehr gering, plastische Stabilität ist also nur gegeben, falls $m \approx 1$ ist. In superplastischen Legierungen können Dehnungen von mehreren $100 \%$ erreicht werden, allerdings nur in sehr feinkörnigen Legierungen bei hohen Temperaturen. Allerdings gibt es Spahnlationen, dass bei extrem geringen Verformungsgeschwindigkeiten auch in grobkörnigerem Material Superplastizität auftreten kann, was für geologische Prozesse von Bedeutung sein könnte.

8.3 Bruch

Abbildung: Der Übergang von sprödem zu duktilem Verhalten für unterschiedliche Materialien (aus http://www.msm.cam.ac.uk/doitpoms/tlplib/BD6/results.php)

Überschneidet man die Grenzen plastischer Stabilität, kommt es im Allgemeinen zum Bruch des Materials. Das Bruchverhalten wird nach verschiedenen Charakteristika unterschieden:

• transkristalliner Bruch: die Bruchfläche durchquert die Körner,
• interkristalliner Bruch: der Riss läuft entlang von Korngrenzen.
• Sprödbruch: mit Sprödbruch bezeichnet man ein Brechen ohne vorangegangene plastische Verformung,
• duktiler Bruch: entsprechend ein Bruch mit vorangehender plastischer Verformung,
• Ermüdungsbruch: mit Ermüdungsbruch wird das Vesagen nach Wechselverformung bezeichnet.

Ob bzw. in welchem Maße ein Sprödbruchverhalten vorliegt, kann im sogenannten Kerbschlagversuch untersucht werden. Ein Fallpendel trifft auf eine eingekerbte, einseitig eingespannte Probe und zerbricht diese. Die beim Burchvorgang dissipierte Energie wird im einfachsten Fall bestimmt, indem die anschließende Steighöhe des Fallpendels gemessen wird. Ein Sprödbruch verzehrt nur sehr wenig Energie, während plastische Verformung einen erheblichen Anteil aufnimmt. In vielen Materialien (z.B. in kubisch raumzentrierten Metallen wie Kohlenstoffstählen) findet man bei einer relativ scharfen Übergangstemperatur einen Übergang von sprödem zu duktilem Verhalten. Unter anderem war das Unterschreiten der Sprödbruchtemperatur eine Mitursache für den Untergang der Titanic (der Eisberg natürlich ebenfalls).

Abbildung: Schema der drei verschiedenen Bruchmoden. Mode I ist ein Aufziehen des Risses, Mode II ein Verschieben nach hinten, Mode III ein Verdrillen.

Die Bruchmechanik versucht, mit Überlegungen aus der Elastizitätstheorie das Materialverhalten nahe der Bruchspitze zu modellieren. Hier werden drei Beanspruchungsarten (``Moden'') unterschieden. Als Mode I bezeichnet man ein einfaches Aufziehen senkrecht zur Bruchfläche, als Mode II eine Stufenverformung in der Bruchfläche und als Mode III eine Torsion auf der Bruchfläche.

Abbildung: Geometrie um den Bruch und Winkelabhängigkeit der Komponenten des Spannungstensors.

Das Spannungsfeld um einen Mode I-Bruch im Ursprung lässt sich berechnen

$$\sigma_{ij}(r,\theta)={K_I\over \sqrt{2\pi\,r}} \, f_{ij}(\theta)\, ,$$ (8.16)

wobei die Funktionen $f(\theta)$ nur noch vom Winkel abhängen:

$$f_{11} = \cos{\theta\over 2}(1-\sin{\theta\over 2}\sin{3\theta\over 2})$$ (8.17)

$$f_{22} = \cos{\theta\over 2}(1+\sin{\theta\over 2}\sin{3\theta\over 2})$$ (8.18)

$$f_{33} = 2\,\nu\,\cos{\theta\over 2}$$ (8.19)

$$f_{12} = \cos{\theta\over 2}\sin{\theta\over 2}\cos{3\theta\over 2}$$ (8.20)

Abbildung () zeigt den Spannungsverlauf um einen Riss. Man erkennt, dass die Scherkomponenten schmetterlingsartig in 45$^0$-Winkeln von der Rissspitze ausgehen. In den Bereichen starker Scherung findet man dementsprechend Versetzungsbewegung. $K_I$ wird als Spannungs-Intensitätsfaktor bezeichnet. Für einen geraden Riss der Länge $2a$ in einem unendlichen Körper unter äußerer Zugspannung $\sigma_A$ ist

$$K_I = \sqrt{\pi\,a}\,\sigma_A\,.$$ (8.21)

Der Riss läuft weiter, wenn $K_I$ einen kritischen Materialwert $K_{Ic}$ , die Bruchzähigkeit, überschreitet. Eine einfache Überlegung von Griffith führt auf eine Abschätzung von $K_{Ic}$: um die Bruchfläche einer Strecke $x$ weiterlaufen zu lassen, muss neue Oberfläche $A$ erzeugt werden. Dies kostet Energie, während andererseits Verformungsarbeit geleistet wird:

$$\begin{eqnarray*} A &=& 2\, b \cdot x \\ E_A &=&2\gamma_s \cdot b \cdot x \end{eqnarray*}$$

Hier ist $b$ die Rissbreite und $\gamma_s$ die spezifische Oberflächenenergie des Materials. Die Verformungsarbeit ist

$$E_V=-{\sigma^2\over 2\,E}\,b\cdot x^2\,,$$ (8.22)

so dass die Energiebilanz zwischen aufzubringender Energie und geleisteter Arbeit

$$\Delta E=E_A+E_V=2\gamma_s \cdot b \cdot x -{\sigma^2\over 2\,E}\,b\cdot x^2$$ (8.23)

ein Maximum bei $x_0\cdot\sigma^2=2\,E\,\gamma_s$ überschreitet. Wenn der Riss diese Länge $x_0$ erreicht hat, läuft er spontan weiter. Diese kritische Risslänge hängt wie erwartet quadratisch von der Spannung ab, der Spannungs-Intensitätsfaktor ist dann

$$K_{Ic}^2=\pi\,x_0\,\sigma^2 = 2\pi\,E\,\gamma_s\,.$$ (8.24)

Diese Überlegung von Griffith gibt allerdings nur eine untere Abschätzung der Bruchzähigkeit, da ein ideal scharfer Riss angenommen wird. Zahlwerte ergeben etwa mit einer Oberflächenenergie $\gamma_s = 2J/m^2$ und einem Elastizitätsmodul $E = 200 GPa$ einen Wert für $K_{Ic} = 0.9 MPa\sqrt m$, d.h. bei einer Spannung von $100 MPa$ würde ein Riss der Länge $a_c = 31\mu m$ weiterlaufen. Die meisten Metalle besitzen jedoch deutlich höhere Bruchzähigkeiten, Stähle etwa $K_{Ic} > 30 MPa\sqrt m$, da hier die Rissspitze durch Versetzungen abgerundet wird, so dass die Spannungskonzentration verringert wird. Dies führt, da die Versetzungsbewegung temperaturabhängig ist, auf den spröde-duktil-Übergang, der insbesondere in bcc-Legierungen, aber auch in Silizium beobachtet wird. Innerhalb eines kleinen Temperaturintervalls ändert sich das Bruchverhalten drastisch (bei ferritischen Stäbchen nicht weit unter Raumtemperatur!, s. Abb. ()). Dies liegt daran, dass für $T < T_c$ die Versetzungen nicht mehr rasch genug vom Riss weglaufen können (der Riss selber läuft praktisch mit Schallgeschwindigkeit), sie können den Riss nicht mehr hinreichend abschirmen, es findet Sprödbruch statt. Für $T > T_c$ jedoch verrundet die Rissspitze stark, dadurch nimmt die Spannung an der Rissspitze ab. Die Versetzungen sind schnell genug, der Bruch ist duktil.