(b) Positronenannihilation

Dies ist eine zweite Möglichkeit, Leerstellenkonzentrationen zu bestimmen. Positronen aus einer geeigneten Quelle werden in das Material injiziert, thermalisieren dort und zerstrahlen nach einer gewissen (kurzen!) Zeit mit einem Elektron unter Aussendung von zwei $\gamma$-Quanten der Energie $511 keV$.

Abbildung: Messung der Leerstellenkonzentration über die Lebensdauer von Positronen

Die mittlere Lebensdauer hängt direkt mit der lokalen Elektronendichte zusammen und ist z.B. an Leerstellen (Orten verringerter $e^-$-Konzentration) deutlich (um ca. 20-80%) länger.

Im einfachsten Fall ist die Lebensdauer $\tau$ ein Mittelwert der Lebensdauer $\tau_f$ des freien Positrons und der des ,,getrappten``, $\tau_v$, d.h. an einer Leerstelle eingefangenen.

$${1\over \tau}= {1\over \tau_f}x_f+ {1\over \tau_v}x_v$$ (5.114)

$x_{v/f}$ Anteil getrappter/freier Positronen.

Bei tiefer Temperatur sind so wenig Leerstellen vorhanden, daß man nur freie Positronen hat, bei hoher werden praktisch alle getrappt. Man erhält daraus die Aktivierungsenergie der Leerstellenbildung, $E_v^f$, falls man ein einfaches trapping-Modell zugrunde legt: Die Anzahl freier Positronen, $n_f$ , ist gegeben durch

$${dn_f\over dt}= N -\lambda_f n_f - \mu_v c_v n_f$$ (5.115)

($N$ Einstrahlung von $e^+$ pro Zeit, $\lambda_f$ Annihilationsrate freier $e^+$, $\mu_v$ trappingrate, $c_v$ Leerstellenkonzentration), die der getrappten, $n_v$, durch

$${dn_v\over dt}= -\lambda_v n_v + \mu_v c_v n_f$$ (5.116)

Im stationären Fall folgt

$$x_v = {n_v\over n_f+n_v} = {\mu_v c_v\over \lambda_v+\mu_v c_v}$$

$$x_f = {n_f\over n_f+n_v} = {\lambda_v\over \lambda_v+\mu_v c_v}$$ (5.117)

Nimmt man an, daß die trapping-rate nur schwach temperaturabhängig ist, kann man aus der Lebensdauerkurve über der Temperatur die Leerstellenkonzentration und damit die Leerstellenbildungsenthalpie bestimmen.

Meßtechnisch wird die Zerstrahlungszeit i.A.über eine Koinzidenzschaltung gemessen:eine schnelle Uhr wird von dem - Impuls des zerstrahlenden Nuklids ($^{22}Na$) ( $E = 1275 kEV$) gestartet und gestoppt, wenn die zwei gegenüberliegenden - Detektoren ein $511 keV$-Quant detektieren.