(a) Das Differentialdilatometer

Eine Leerstelle im Kristall vergrößert das Kristallvolumen um etwas weniger als ein Atomvolumen. Mit steigender Temperatur dehnt sich der Kristall somit zum einen thermisch, zum anderen durch die gebildeten Leerstellen aus. Ist $V_0$ das Ausgangsvolumen eines Kubus der Kantenlänge $l_0$ , $a_0$ die Gitterkonstante und $\Omega$ die Atomzahl, dann ist bei $T=0$

Abbildung: Prinzipaufbau eines Differentialdilatometers: durch gleichzeitige Messung der thermischen Ausdehnung und der Änderung des Gitterparameters kann die Leerstellenkonzentration gemessen werden.

$$V_0=l_0^3 =\Omega a_0^3$$ (5.110)

und bei $T$

$$V(T)=l^3=\Omega a^3 + N_v\cdot v_v$$ (5.111)

wenn sich $N_v$ Leerstellen mit Volumen $v_v$ gebildet haben. Setzen wir

$$l=l_0+\Delta l,\quad a=a_0+\Delta a,$$ (5.112)

wird

$${V(T)-V_0\over V_0} \approx 3{\Delta l\over l_0}$$

$${V(T)-V_0\over V_0} \approx 3{\Delta a\over a_0} + c_v \cdot{v_v\over a_0^3}$$

$$\Rightarrow c_v = 3 {a_0^3\over v_v}({\Delta l\over l_0}-{\Delta a\over a_0})$$ (5.113)

( $c_v={N_v\over\Omega}$ ist die Leerstellenkonzentration) Eine genauere Analyse ergibt, daß der Faktor ${a_0^3\over v_v}$, also das Verhältnis von Atomvolumen zu Leerstellenvolumen, überflüssig ist, denn in der Umgebung der Leerstelle relaxiert das Gitter etwas, was $\Delta a$ genau um den gleichen Betrag ändert (zumindest in linearer Elastizitätstheorie).

Experimentell mißt man simultan die äußere Längenausdehnung $\Delta l$ etwa mit optischen Verfahren und röntgenographisch die Änderung der Gitterkonstante $\Delta a$. Man braucht extreme Präzision, da $c_v < 10^{-4}$ ist.