Snoek-Effekt

Eine spezielle Methode, sehr kleine Sprungfrequenzen zu messen, ist die anelastische Relaxation, insbesondere der Snoek-Effekt, den man etwa bei der Diffusion von Kohlenstoff in $\alpha$-Eisen findet. Der Kohlenstoff befindet sich auf Oktaederlücken, die im bcc-Gitter etwas unterschiedliche Achslängen haben, ($a$ in einer Koordinatenrichtung, $\sqrt 2 a$ in den beiden anderen Richtungen), so daß es in $x$-, $y$- und $z$-Richtung orientierte Lücken gibt.

Legt man nun eine mechanische Spannung an den Kristall (z.B. Zugspannung in $x$-Richtung), so ist es am günstigsten, wenn sich die $C$-Atome auf $x$-orientierten Lücken konzentrieren. Dadurch relaxiert der Kristall etwas, die elastische Nachgiebigkeit (engl. compliance) $J$, die im linear-elastischen Fall die Inverse des E-Moduls ist, sinkt ab

$$J(t)=J_u\exp-{t\over\tau}+ J_r(1-\exp-{t\over\tau})$$ (5.98)

($J_u$ unrelaxierte Nachgiebigkeit, $J_r$ relaxierte Nachgiebigkeit). Die Stärke der Relaxation (d.h. die Differenz $J_u-J_r$ ist proportional zur Kohlenstoffkonzentration, die Relaxationszeit zur Sprungfrequenz.

Gemessen wird meist unter zyklischer Beanspruchung die Dämpfung (z.B. in einen Drehpendel). Bei hohen Frequenzen haben die $C$- Atome keine Zeit, der elastischen Spannung zu folgen, die Schwingung ist verlustarm, bei niedrigen Frequenzen haben sie hinreichend Zeit, die Schwingung ist wieder verlustarm. Dazwischen gibt es jedoch eine Frequenz $\omega$, bei der die $C$-Atome immer genau auf den falschen Plätzen sitzen - dies bewirkt ein Dämpfungsmaximum. Es liegt dann vor, wenn

$${\omega\over\Gamma} =1$$ (5.99)

ist.

Abbildung: Mechanisches Ersatzschaltbild für den Standard-anelastischen Festkörper

Die Beschreibung erfolgt unter Zuhilfennahme eines mechanischen Ersatzschaltbildes, wie es Abb. (5.15) zeigt. Eine Feder (Federkonstante $J_u-J_r$) und ein Dämpfungsglied (Viskosität $\eta$) sind parallel geschaltet. Sie geben die langsame Relaxation des Festkörpers wieder. Dazu in Reihe liegt eine weitere Feder, die die Anfangselastizität darstellt, die unrelaxierte Nachgiebigkeit $J_u$. Für die an den Einzelelementen wirkenden Spannungen gilt dann

$$\sigma = \sigma_a$$ (5.100)

$$\sigma_a = \sigma_b+\sigma_c,$$ (5.101)

für die Dehnungen

$$\varepsilon = \varepsilon_a+\varepsilon_b$$ (5.102)

$$\varepsilon_b = \varepsilon_c$$ (5.103)

Zwischen Spannungen und Dehnungen gelten folgende Beziehungen

$$\varepsilon_a = J_u\sigma_a$$ (5.104)

$$\varepsilon_b = (J_r-J_u)\sigma_a$$ (5.105)

$$\dot \varepsilon_c = \eta\sigma_c$$ (5.106)

Eliminiert man die $\varepsilon_a$, $\varepsilon_b$, $\varepsilon_c$, $\sigma_a$, $\sigma_b$, $\sigma_c$, bekommt man die Standardgleichung für den anelastischen Festkörper

$$J_r\sigma + \eta J_u (J_r-J_u)\dot\sigma = \varepsilon +\eta (J_r-J_u)\dot\varepsilon$$ (5.107)

(Diese Gleichung kann als erste Erweiterung des Hookeschen Gesetzes um geschwindigkeitsabhängige Terme verstanden werden. Entsprechend könnte man beschleunigungsabhängige Terme einführen usw. Schwieriger wäre eine Erweiterung um kompliziertere, nichtlineare Reibungsterme.)

Setzt man jetzt eine periodische Anregung ein, $\sigma(t)=\sigma_0\exp i\omega t$, erhält man eine Auslenkung mit gleicher Frequenz, die aber phasenverschoben ist, $\varepsilon(t)=\varepsilon_0\exp i(\omega t - \phi)$

Für den Verlustwinkel $\phi$ ergibt sich

$$\tan \phi = {\omega(\tau_2-\tau_1)\over 1+\omega^2\tau_1\tau_2}$$

$$= {J_r - J_u\over\sqrt{J_uJ_r}}{\omega\tau\over 1+\omega^2\tau^2}$$ (5.108)

wobei

$$\tau_1 = \eta(J_r-J_u){J_u\over J_r}$$

$$\tau_2 = \eta(J_r-J_u)$$

$$\tau = \sqrt{\tau_1\tau_2}$$ (5.109)

gesetzt wurden. Diese Kurve hat ein Maximum bei $\omega=1/\tau$, bei dem die Verluste pro Schwingung, die Dämpfung, maximal ist.

Praktisch wird meist nicht die Anregungsfrequenz variiert, sondern die Temperatur und damit $\Gamma$.

Die gleiche Information erhält man, wenn man stattdessen die Resonanzfrequenz des Drehpendels bestimmt. Bei hohen Temperaturen und fester Frequenz folgen die $C$-Atome wieder der Schwingung, die Resonanzfrequenz ist durch den relaxierten Modul gegeben, bei tiefer Temperatur durch den unrelaxierten. Der Übergang erfolgt genau wieder, wenn die Anregungsfrequenz gleich der Sprungfrequenz ist.