Thermotransport

Wie durch elektrische Felder kann auch durch starke Temperaturgradienten Material transportiert werden. Das einfachste Modell ist das des Anfrierens: die Atome an der heißen Seite besitzen eine höhere Beweglichkeit als am kalten Ende. Geraten sie durch einen Sprung zufällig in kältere Bereiche, bleiben sie dort hängen.

Eine etwas genauere Betrachtung liefert das Modell von Wirtz:

Der Strom von Atomen von $x_1$ nach $x_2$ ist

$$j_{1\rightarrow 2} = c_B a \Gamma_{1\rightarrow 2}c_v(x_2)$$

$$j_{2\rightarrow 1} = c_B a \Gamma_{2\rightarrow 1}c_v(x_1)$$ (5.68)

Hier taucht die Leerstellenkonzentration am Zielort auf, denn das Atom muß in einen unbesetzten Platz springen. Die Sprungraten sind

$$\Gamma_{1\rightarrow 2} = \Gamma_0\exp -{E_v^m\over kT_1}$$

$$\Gamma_{2\rightarrow 1} = \Gamma_0\exp -{E_v^m\over kT_2}$$ (5.69)

die Leerstellenkonzentrationen

$$c_v(x_1) = \exp -{E_v^f\over kT_1}$$

$$c_v(x_2) = \exp -{E_v^f\over kT_2}$$ (5.70)

Setzen wir

$$T_1 = T-{\Delta T\over 2}$$

$$T_2 = T+{\Delta T\over 2}$$

wird (da $\Delta T << T$ ist)

$$\Gamma_{1\rightarrow 2} \approx \Gamma_0\exp -{E_v^m\over kT}(1-{E_v^m\over kT}{\Delta T\over 2T}$$

$$\Gamma_{2\rightarrow 1} = \Gamma_0\exp -{E_v^m\over kT}(1+{E_v^m\over kT}{\Delta T\over 2T}$$

$$c_v(x_1) \approx \exp -{E_v^f\over kT}(1-{E_v^f\over kT}{\Delta T\over 2T}$$

$$c_v(x_2) \approx \exp -{E_v^f\over kT}(1+{E_v^f\over kT}{\Delta T\over 2T}$$ (5.71)

Damit wird der Nettostrom von $x_1$ nach $x_2$

$$j_{1\rightarrow 2}-j_{2\rightarrow 1} = c_B a \overline \Gamma \overline c_V{E_v^f-E_v^m\over kT}{\Delta T\over T}$$ (5.72)

$$= c_B{D_B\over 6d}{E_v^f-E_v^m\over kT}{\Delta T\over T}$$ (5.73)

wobei die mittlere Sprungrate $\overline \Gamma=\Gamma(T)$ und die mittlere Leerstellenkonzentration $\overline c_v =c_v(T)$ eingesetzt wurden.

Das heißt je nach Vorzeichen der Differenz aus Bildungs- und Wanderungsenthalpie der Leerstelle werden die B-Atome zum kalten oder warmen Ende wandern. Die Gleichung hat große Ähnlichkeit zu der des Elektrotransports, wenn man die Transportwärme

$$Q_B^* = E_v^f-E_v^m$$ (5.74)

statt der effektiven Ladung $Z^*$ und den normierten Temperaturgradienten

$$\tau={\Delta T\over 6d T}$$ (5.75)

statt des Feldes $e\Phi$ einsetzt:

$$j_B^{th} = {D_B c_B \over kT} \cdot Q_B^*\cdot \tau$$ (5.76)

$$j_B^{em} = {D_B c_B \over kT} \cdot Z_B^*\cdot e\Phi$$ (5.77)

Das vorgestellte Modell vereinfacht allerdings stark: der Wärmetransport in Metallen findet überwiegend durch Elektronen statt, so daß sicher eine Art Elektronenwind zu berücksichtigen ist sowie ein ähnlicher Effekt durch Phononenstöße.