Elektrotransport

Legt man ein elektrisches Feld $\Phi$ an einen Kristall, wird auf die B-Ionen eine Kraft

$$F=-Z_B\cdot e \Phi$$ (5.62)

($Z_B$ Ordnungszahl, $e$ Elementarladung) ausgeübt. Dies führt zu einem Driftstrom

$$j_B^{Drift}=-M_B Z_B e \Phi$$ (5.63)

($M_B$ Beweglichkeit der $B$-Atome). Der Gesamtstrom (einschließlich Diffusionsströme) ist also

$$j_B=-D_B{\partial c_B\over\partial x}-M_B Z_B e \Phi$$ (5.64)

Die Beweglichkeit der Atome läßt sich durch den Diffusionskoeffizienten (s.o.) ausdrücken

$$M_B={D_B\over kT}c_B$$

so daß

$$j_B=-D_B{\partial c_B\over\partial x}-{D_B\over kT}c_B Z_B e \Phi$$ (5.65)

ist.

Abbildung: Einfaches Bild zur Erklärung der Elektromigration

Dies naive Bild versagt allerdings in Metallen, da hier nur extrem schwache elektrische Felder aufgebaut werden können.

In Kupfer z.B. ist $\rho_{Cu} = 1.7 \mu\Omega cm$. Schicken wir einen (extrem hohen!) Strom der Dichte $j = 10^6 A cm^{-2}$ hindurch, so ist das Feld nur

$$\Phi = j\cdot\rho = 1.7 Vcm^{-1} = 170 nV nm^{-1}$$ (5.66)

d.h. die Energie, die ein Ion für einen Sprung in eine Nachbarlücke (Sprungdistanz ca. $d\approx 0.2 nm$, Energie $Z_B e \Phi d\approx 30-100 neV$) extra bekommt, ist nur etwa $10^{-7}$mal die Höhe der zu überwindenden Barriere

Nichtsdestotrotz findet man bei solch extremen Stromdichten einen nennenswerten Materialtransport (z.B. in Leiterbahnen auf Halbleiterchips: Breite $1\mu m$, Dicke = $0.1\mu m$, $I = 1mA$ $\Rightarrow j =10^6A/cm^2$). Dies rührt daher, daß die Elektronen (oder Löcher), die den Strom tragen, an den (Fremd-) Atomen gestreut werden und dadurch Impuls auf die Atome übertragen. Die Streuung ist besonders effektiv, wenn das Atom gerade springt. Dieser Impulsübertrag wird als ,,Elektronenwind'' bezeichnet. Er führt dazu, daß die Atome sich verhalten als hätten sie eine ,,effektive Ladung'' $Z^*$, die (je nach Richtung des Impulsübertrags) kleiner oder größer als $Z$ sein kann.

Eine klassische Theorie ergibt (Huntington und Fiks)

$$Z_B^* =Z_B - Z_A{m^*\over \vert m^*\vert}{\Delta\rho\over\rho}$$ (5.67)

wobei ${m^*\over \vert m^*\vert}$, das Vorzeichen bestimmt (Elektronen- oder Löcherleitung), $\Delta\rho$ die Erhöhung des Widerstands pro Fremdatom in der Sattelpunktslage und $\rho$ der spezifische Probenwiderstand ist.

Anmerkung: Wie man sieht, wächst die Stärke des Elektrotransports mit der Beweglichkeit der Atome. Dies führt dazu, daß in Bereichen erhöhter Beweglichkeit (insbesondere in KG) der Elektrotransport sehr viel effektiver ist. Dies war (und ist z.Zt. noch) in der Mikroelektronik ein Problem: die feinen Al- Leiterbahnen auf Chips sind i.A. sehr feinkörnig, so daß Elektromigration entlang von Korngrenzen zu unerwünschtem Materialtransport führt. Dies wird verhindert durch Zulegieren geringer Mengen von Kupfer, daß wohl durch Ausscheidungen in den Korngrenzen die Elektromigration stark behindert.