Erstarren eines Kristalls

Die Erstarrung eines flüssigen Materials beginnt mit der Bildung von Kristalliten an vielen Stellen, die wachsen und Korngrenzen ausbilden.

In vielen Fällen ist es möglich, einen solchen Prozeß (der eine Phasenumwandlung erster Ordnung ist) in mehrere Teilschritte zu unterteilen, nämlich in eine Keimbildungsphase, eine Wachstumsphase und gelegentlich noch in eine Vergröberungsphase.

Die Umwandlung in die thermodynamisch stabile Phase (hier den Festkörper) bringt zwar Volumenenergie ein, andererseits muß zwischen erstarrtem Keim und umgebender Flüssigkeit eine Grenzfläche aufgebaut werden, die Energie kostet. Daher gibt es eine Mindestgröße, die ein Keim haben muß, ehe er stabil weiterwächst.

Man stellt also die Energiebilanz zwischen dem Gewinn an freier Enthalpie pro Volumen, $\Delta f_V$

$$\Delta f_V = f_L - f_S \approx \alpha\cdot \Delta T \qquad (\Delta T \em {\rm Unterk\uml {u}hlung})$$ (2.1)

und der für die Bildung einer Grenzfläche aufzuwendenden Energie $\Delta F_g$

$$\Delta F_g =\tilde E_{SL}\cdot 4\pi r^2\qquad (\tilde E_{SL}: {\mathrm spez. Grenzfl\uml {a}chenenergie})$$ (2.2)

also

$$\Delta F = -\Delta f_V\cdot {4\over 3}\pi r^3 + \tilde E_{SL} \cdot 4\pi r^2$$ (2.3)

auf ($f_{S,L}$ freie Enthalpie der festen/flüssigen Phase). Diese Funktion hat ein Maximum bei $r^*$ -- Keime mit Radien kleiner als $r^*$ würden im Mittel schrumpfen, größere wachsen. $r^*$ wird daher als Radius des kritischen Keims bezeichnet. Er ergibt sich aus

$${\partial \Delta F\over \partial r} = 0$$ (2.4)

$$r^* = {2\tilde E_{SL}\over \alpha \Delta T}$$ (2.5)

$$\Delta F^* = {16\pi \tilde E_{SL}^3\over 3 \alpha^2 \Delta T^2}$$ (2.6)

Das heißt, je größer $\Delta T$ ist , um so kleiner wird $r^*$. Typische Zahlwerte sind:

• kritischer Keim enthält einige hundert Atome,
• Unterkühlung um mehr als hundert Grad ist möglich, aber extrem schwierig wegen heterogener Keimbildung, etwa an der Tiegelwand

Haben sich nun Keime aus der unterkühlten Schmelze gebildet, können diese wachsen durch Anlagerung neuer Atome aus der Schmelze an Kanten. Hierbei können sich insbesondere sogenannte Wachstumsspiralen an Schraubenversetzungen bilden: an Durchstoßpunkten solcher Versetzungen auf einer Oberfläche liegt eine Kante, die sich bei Anlagerung von Atomen spiralförmig nach oben fortsetzt.

Eine Betrachtung wie hier, Aufteilung einer Phasenumwandlung in eine Keimbildungs- und eine Wachstumsphase wird uns in späteren Kapiteln noch öfter begegnen, desgleichen die Abschätzung der Keimgröße durch eine Energiebilanz zwischen aufzuwendender Grenzflächenenergie und gewonnener Volumenenergie.