Diffusion

Mit Diffusion bezeichnen wir die Bewegung von Atomen über mindestens atomare Abstände. Sie ist die Voraussetzung für alle mit Konzentrationsänderungen verbundenen Umwandlungen, aber auch für Ordnungseinstellung (Platzwechsel über Nächste-Nachbar-Distanzen).

Die wichtigsten Grundgleichungen sind die aus anderen Vorlesungen bekannten Fickschen Gesetze. Das erste ergibt sich, wenn man einen Teilchenstrom durch eine gegebene Fläche betrachtet, der einen (kleinen) Konzentrationsgradienten ausgleicht:

$$\underline j = -D_B \nabla c_B$$ (5.1)

Abbildung 5.1: Zur Herleitung des ersten Fickschen Gesetzes

Dies kann in folgender Weise verstanden werden: Alle Teilchen führen ständig Sprünge über eine Distanz $a$ mit einer Sprungrate $\Gamma$ aus. Die Anzahl von Sprüngen durch die Fläche $A$ von $x - \varepsilon$ nach $x$ pro Zeitintervall ist

$$A\cdot {\Gamma\over 2}\cdot c_B(x-{a\over 2})$$

die von Rücksprüngen

$$A\cdot {\Gamma\over 2}\cdot c_B(x+{a\over 2})$$

Insgesamt gehen also

$$A{\Gamma\over 2} (c_B(x-{a\over 2})-c_B(x+{a\over 2}))$$

Teilchen pro Zeiteinheit von links nach rechts durch die Fläche $A$ bei $x$. Sie legen dabei eine Strecke $a$ zurück, so daß der Teilchenstrom durch A

$$J = A\,a^2\,{\Gamma\over 2} {c_B(x-{a\over 2})-c_B(x+{a\over... ...\approx A\,a^2\,{\Gamma\over 2} {\partial c_B\over \partial x}$$

ist. Die Stromdichte ist damit

$$j = {J\over A}= \,a^2\,{\Gamma\over 2} {\partial c_B\over \partial x},$$ (5.2)

der Diffusionskoeffizient in einer Dimension

$$D={1\over 2}\Gamma\,a^2$$ (5.3)

Anmerkung: Im allgemeinen Fall (nicht kubischer Kristall) ist der Diffusionskoeffizient ein symmetrischer Tensor 2. Stufe: Für kubische Kristalle gilt jedoch der allgemeine Satz, daß symmetrische Tensoren zweiter Stufe nur eine unabhängige Komponente besitzen (( Hauptachsentransformation + Vertauschbarkeit der Indices), so daß hier ein isotroper Diffusionskoeffizient vorliegt. In nicht kubischen Kristallen jedoch kann $D$ stark richtungsabhängig sein!

Das zweite Ficksche Gesetz erhält man aus dem ersten durch Anwenden der Kontinuitätsbedingung: Durch den Diffusionsstrom durch x ändert sich die Konzentration bei x (im eindimensionalen Fall)

$$a {\partial c_B\over \partial t}(x+a/2) = j_B(x)-j_B(x+a)$$

so daß folgt

$$\dot c_B = -{\partial \over \partial x} j_B$$ (5.4)

(Kontinuitätsgleichung in einer Dimension) bzw. allgemein

$$\dot c_B = -\nabla \underline j_B$$ (5.5)

Ist $D_B$ konzentrationsunabhängig (muß nicht sein), ergibt sich

$$\dot c_B = D_B \Delta c_B$$ (5.6)

Spezielle Fälle mit bekannter Lösung sind