Kanamori-Ungleichungen

Dies ist eine Methode vorherzusagen, welche Struktur bei gegebenem Werte der Paarvertauschungsenergien $\varepsilon_1, \varepsilon_2$ (zwischen nächsten, übernächsten, ... Nachbarn) bei tiefer Temperatur stabil ist (wo also die innere Energie minimal ist).

Bsp. $\varepsilon_1, \varepsilon_2 \ne 0$, fcc-Gitter:

$$\Delta E = E_0 + \varepsilon_1 N^{(1)}_{AB}+\varepsilon_2 N^{(2)}_{AB}$$

$$= \tilde E_0 - 2\varepsilon_1 N^{(1)}_{BB}-2\varepsilon_2 N^{(2)}_{BB}$$ (4.9)

Hierbei ist $N^{(k)}_{ij}$ die Anzahl von ij-Paaren in der Nachbarschale k. Setzt man $p_i={N^{(k)}_{BB}\over N}$, ergeben sich die sogenannten Kanamori-Ungleichungen durch geschicktes Abzählen der Nachbarschaften:

$$A: \qquad p_1 \left\{ \begin{array}{lr} \ge 0 & \nu_B \le 1/4\\ \ge 4\nu_B-1 & 1/4 \le \nu_B \le 1/2 \end{array} \right.$$

$$B:\qquad 2 p_1+ p_2 \left\{ \begin{array}{lr} \ge 0 & \nu_B \le 1/6\\ \ge 6\nu_B-1 &... ... \le \nu_B \le 1/3\\ \ge 12\nu_B-3 & 1/3 \le \nu_B \le 1/2 \end{array} \right.$$

$$C:\qquad p_2 \ge 0 \qquad \nu_B \le 1/2$$

$$D:\qquad -p_1+p_2 \ge -3\nu_B \qquad \nu_B \le 1/2$$

$$E:\qquad -p_2 \ge -3\nu_B \qquad \nu_B \le 1/2$$ (4.10)

Diese Ungleichungen lassen sich wie in Abb. 4.8 graphisch darstellen:

Abbildung: Graphische Lösung der Kanamori-Ungleichungen für Wechselwirkung bis zum zweiten Nachbarn. Das schraffierte Gebiet entspricht dem Bereich erlaubter Zahlen von ersten und zweiten Nachbarn. Linien konstanter Energie für ein gegebenes Verhältnis von $\varepsilon _1\over \varepsilon _2$ stehen senkrecht auf der gestrichelten Geraden. Im gezeigten Fall wäre die minimale Energie und damit der Grundzustand bei $p_1=0$ und $p_2=1/2$.

Die Gleichung für die Energie

$$\Delta E = N (-\varepsilon_2) ({\varepsilon_1\over\varepsilon_2}p_1 + p_2)$$ (4.11)

entspricht einer Geraden. Konstante Energie findet man auf den Ebenen senkrecht hierzu. Die Energie wird minimal für die gestrichelte Gerade, entsprechend $p_1=0$, $p_2=1/2$, z.B. $\varepsilon _1 \le {1\over 2} \varepsilon_2 \le 0$. Auf diese Weise läßt sich für alle möglichen Vorzeichen und Verhältnisse von $\varepsilon _1$ und $\varepsilon _2$ die Grundzustandskonfiguration angeben (Abb.4.9).

Abbildung: Diagramm der Grundzustände auf dem fcc-Gitter für verschiedene Verhältnisse von $\varepsilon _1$ und $\varepsilon _2$