Special-Point-Strukturen

Hier wird die Symmetrie des Gitters als Auswahlprinzip für bestimmte Überstrukturen herangezogen.

Abbildung: (a) 2d-Kristall mit zwei Überstrukturen, (b) Einheitszelle des reziproken Gitters mit Überstrukturreflexen

Am einfachsten sieht man das Prinzip an einem 2d-Kristall mit möglichen Überstrukturen (Abb. 4.7). Jede mögliche Überstruktur entspricht einigen Punkten im reziproken Gitter. Eine Ordnung auf dem Gitter läßt sich als periodische Anordnung der Atome, als Überlagerung von Ordnungswellen auffassen:

$$X(\underline r) = \alpha \exp(2\pi i \underline k \underline r)$$ (4.6)

Ihre Fouriertransformierte, also die Amplitude einer bestimmten Periodizität $\underline k$ sei mit $\tilde X(\underline k)$ bezeichnet. $X(r)$ ist die Konzentration der B-Atome am Ort $r$. Die Wechselwirkungsenergie zwischen einem Atom bei $r$ und einem bei $r'$ sei $v(r-r')$, so daß die gesamte Wechselwirkungsenergie

$$V(X) = \sum_{r,r'} v(\underline r - \underline r')X^*(\underline r) X(\underline r')$$ (4.7)

ist. Sie läßt sich ebenfalls fouriertransformieren in $\tilde V(\underline k)$. Die Extrema von V sind gegeben durch die Bedingung

$${\partial \tilde V \over \partial k} =0$$ (4.8)

An Symmetrieelementen des zugrundeliegenden (reziproken) Gitters, z.B. bei $k = -k$ muß die entsprechende Richtungsableitung von $\tilde V$ verschwinden, an Schnittpunkten mehrerer Symmetrieelemente ( Extrema oder Sattelpunkte), den sogenannten Special points muß $\tilde V$ also extremal sein. Solche Punkte sind daher gute Kandidaten für häufige Überstrukturen. Im fcc-Gitter findet man die folgenden special points:

$\langle 000\rangle$	(Entmischung)
$\langle 100\rangle$	$L1_2$-,$L1_0$-Struktur
$\langle 1/2,1/2,1/2\rangle$	$L1_1$-Struktur
$\langle 1,1/2,0\rangle$	$D1_a$-Struktur,

im bcc:

$\langle 000\rangle$	(Entmischung)
$\langle 100\rangle$	$B2$-Struktur
$\langle 1/2,1/2,1/2\rangle$	$B32$-Struktur
$\langle 1,1/2,0\rangle$	.