Hume-Rothery-Regeln

Hume-Rothery stellte eine Reihe empirischer Regeln für das Auftreten intermetallischer Phasen auf:

• Ein Mischkristall wird gebildet, falls die Radiendifferenz ${\Delta r\over r} < 0.15$ ist.
• Bilden sich stabile Verbindungen (im chemischen Sinne), d.h. sind die Elektronegativitäten sehr unterschiedlich, wird die primäre Mischbarkeit gering sein
• Bestimmte Phasen werden bei gewissen mittleren Valenzelektronendichten begünstigt (,,Elektronenphasen``, ,,Hume-Rothery-Phasen``)

Für die letzte Regel wird eine Definition der Valenzelektronendichte $e/a$ benötigt -- sie ist die ,,Anzahl Valenzelektronen $e$ dividiert durch die Zahl $a$ der Atome pro Einheitszelle``. Hierbei tritt das Problem der Definition von Valenzelektronen auf. Bewährt hat sich:

Fe,Co,Ni,Pd,Pt	Z = 0
Cu,Ag,Au	Z = 1
Zn	Z = 2
Al	Z = 3

(d-Elektronen werden nicht gezählt.)

Abbildung: Schematischer Verlauf der elektronischen Zustandsdichte mit Singularität an der Brillouinzone

Eine gewisse Erklärung für die häufig gefundenen $e/a$-Verhältnisse in gewissen Strukturen gibt das Jonesmodell: während die Zustandsdichte des freien Elektronengases glatt ist, steigt sie für kristalline Festkörper an den Grenzen der Brillouinzonen stark an (Abb. 4.6) und hat direkt an der Grenze einen Sprung nach unten. In einem Modell starrer Bänder (rigid-band-Modell) wird durch Zulegieren die Bandstruktur nicht verändert, sondern nur aufgefüllt, die Fermienenergie verschiebt sich. Unterhalb der Brillouinzonengrenze können nun Elektronen mit relativ geringer Energie untergebracht werden, darüber wird schnell viel Energie nötig. Daher kann es günstiger sein, wenn der Kristall eine andere Struktur (mit anderen Brillouinzonen) annimmt. Die kritischen Elektronendichten sind

fcc	$e/a=1.36$
bcc	$e/a=1.5$
$\gamma$	$e/a=1.62$
$\epsilon$	$e/a=1.75$

Im Messing ($Cu_{1-x}Zn_x$) findet man in der Tat vergleichbare Werte:

	$x$	$e/a$
$\alpha$	1/3	4/3
$\beta$	1/2	3/2
$\gamma$	2/3	5/3
$\epsilon$	3/4	7/4