Modell der idealen Lösung

Die Energie sei unabhängig von der Anordnung der Atome, sie soll nur von der Gesamtzahl an B-Atomen abhängen, also $\varepsilon = 0$. Dann ergibt sich die Anzahl von Möglichkeiten, das System mit einer gewissen Zahl B-Atome zu finden, aus oben angegebenem Binominalterm:

$$W(n_B) = {n!\over n_A!n_B!}$$

Mit Hilfe der Stirlingschen Formel für große $n$, $\log\, n!\approx n \log\, n - n$ folgt

$$\log W \approx n \log n - n - n_A \log n_A + n_A - n_B \log n_B + n_B$$

$$= n (\log n - \nu_A \log \nu_A - \nu_B \log \nu_B - (\nu_A + \nu_B) \log n)$$

$$= - n(\nu_A \log \nu_A + \nu_B \log \nu_B)$$ (3.28)

wobei wie üblich $\nu_i=n_i/n$ gesetzt wurde.

Abbildung: Die freie Energie im Modell der idealen Lösung

Die freie Enthalpie im Modell der idealen Lösung ist damit

$$F = E - TS$$

$$S = k \log W$$

$$F = n\left({Z\over 2}(\nu_a\varepsilon_{AA}+\nu_B\varepsilon_{BB})+ kT(\nu_A\log\nu_A + \nu_B \log\nu_B)\right)$$ (3.29)

Anmerkung: Da

$$\begin{eqnarray*} \lim_{x\rightarrow 0} x \log x &=& 0,\\ \lim_{x\rightarrow 0}... ...x}( x \log x) =\lim_{x\rightarrow 0} (\log x +1) &=& -\infty,\\ \end{eqnarray*}$$

hat die freie Enthalpie an den Rändern der Konzentrationsachse ( $\nu_A\rightarrow 0,\nu_B\rightarrow 0$, wo also $F={Z\over 2} n \varepsilon_{AA,BB}$ ist, eine senkrechte Tangente nach unten. Das bedeutet, daß immer eine gewisse Randlöslichkeit vorliegt.

Die nächste Verfeinerung der statistischen Modelle ist das