Bestimmung des Lamellenabstands

In der Schmelze findet man vor den $\alpha$-Lamellen eine B-Anreicherung und umgekehrt. Dies muß durch einen entsprechenden Diffusionsstrom $j_B$ ausgeglichen werden

$$j_B=2D_L{\Delta c_L\over {S/2}}$$ (3.16)

$$2\Delta c_L=c_{L\alpha}-c_{L\beta}$$

Hier ist $D_L$ der Diffusionskoeffizient der B-Atome in der Schmelze, $S$ der Lamellenabstand, $c_{L\alpha,\beta}$ die B-Konzentration der Schmelze vor einer Lamelle der $\alpha$-, $\beta$-Phase. Der Diffusionsweg ist umso kürzer, je kleiner der Lamellenabstand ist. Andererseits muß mit sinkendem Lamellenabstand zusätzliche Grenzflächenenergie aufgebracht werden, was den Lamellenabstand nach unten limitiert. Diese Energie muß durch eine Unterkühlung

$$\Delta T_1 = \lambda_1 \cdot {\tilde E_{\alpha\beta}\over S}$$ (3.17)

aufgebracht werden.

Abbildung: Skizze eines eutektischen Gefüges

Der Diffusionsstrom aufgrund des Konzentrationsgradienten in der Schmelze ergibt sich ebenfalls aus einer Unterkühlung:

$$j_B = 4D_L{\Delta c_L\over{S/2}}$$ (3.18)

$$= (c_{L}-c_{\alpha})\cdot v,$$

wobei $v$ die Geschwindigkeit der Erstarrungsfront ist. Die letzte Gleichung folgt, da die in der festen $\alpha$-Phase nicht ausgeschiedenen B-Atome abtransportiert werden müssen.

$$\Rightarrow\qquad \Delta c_L = {c_L-c_\alpha\over 8D_L}\cdot S\cdot v.$$ (3.19)

$$\Delta T_2 = \lambda_2\Delta c_L$$

ist die zur Erzeugung dieses Konzentrationsgradienten nötige Unterkühlung. Insgesamt muß die Schmelze also um

$$\Delta T = \Delta T_1 + \Delta T_2$$

$$= \lambda_1 \cdot {\tilde E_{\alpha\beta}\over S}+ \lambda_2{c_L-c_\alpha\over 8D_L}\cdot S\cdot v$$ (3.20)

unterkühlt werden,damit sie mit Geschwindigkeit v und Lamellenabstand S erstarrt. Bei gegebener Unterkühlung $\Delta T$ ergibt sich

$$v(S)={8D_L\over\lambda_2(c_L-c_\alpha)}{1\over S} (\Delta T- \lambda_1{\tilde E_{\alpha\beta}\over S})$$ (3.21)

Es wird sich der Lamellenabstand einstellen, der am schnellsten wächst:

$${\partial v\over \partial S}=0,$$

also

$$0 = -\lambda_1 \cdot {\tilde E_{\alpha\beta}\over S^2}+ \lambda_2{c_L-c_\alpha\over 8D_L}\cdot S\cdot (v+S\cdot {\partial v\over \partial S})$$

$$v^*S^2 = {\lambda_1 \cdot \tilde E_{\alpha\beta}\over \lambda_2(c_L-c_\alpha)}\cdot 8D_L$$ (3.22)

Hinweis: eutektische Gefüge sind häufig sehr erwünscht wegen

• hoher Festigkeit (feine Mikrostruktur)
• Erstarrung bei fester Temperatur (keine Hohlraumbildung), wichtig für Gußwerkstoffe
• niedrige Schmelztemperatur, Bsp: Gußeisen Fe 17.1 % C, Al 11.3 % Si, Lötzinn 60 % Sn, 40 % Pb