Wachstum

Nun soll untersucht werden, wie die einmal gebildeten Keime durch Diffusion wachsen, und wie durch das Wachstum langsam die vorhandene Matrixübersättigung abgebaut wird. Zunächst betrachten wir einen einzelnen Keim der Größe $r_0$ (Abb. 7.1.2). An seiner Grenze herrsche ein lokales Gleichgewicht, d.h. die Konzentration des Keims sei die Gleichgewichtskonzentration $c_\beta$, die der Matrix direkt am Keim $c_\alpha$. Weit vom Keim sei die Matrixkonzentration $c_0$.

Abbildung 7.4: Diffusives Wachstum eines Keims mit Radius $r_0$.

Dann strömen B-Atome im Konzentrationsgradienten auf den Keim zu. Wir nehmen an, daß das Profil stationär sei und sich nur die Grenzfläche verschiebt. Die Diffusionsgleichung in Polarkoordinaten lautet

$${\partial c\over\partial t}=-\tilde D_B({\partial^2c\over\partial r^2} +{2\over r}{\partial c\over \partial r})$$ (7.16)

und hat die stationäre Lösung

$$c_B(r)=c_0-(c_0-c_B'){r_0\over r}.$$ (7.17)

Hieraus folgt der Strom an $B$-Atomen durch

$$j_B=-\tilde D_B{\partial c\over\partial r} = -\tilde D_B{r_0\over r^2}(c_0-c_B')$$ (7.18)

An der Grenzfläche des Teilchens bei $r_0$ ist also

$$j_B(r_0)= -\tilde D_B{c_0-c_B'\over r_0}$$ (7.19)

Das Volumen $V$ der Ausscheidung wächst durch die herausströmenden Atome ($\Omega$ ist das Atomvolumen)

$${\partial V\over \partial t} = -j_B \cdot 4\pi r_0^2 \Omega$$

$$= {\partial\over\partial t}({4\over 3}\pi r_0^3)$$

$$= 4\pi r_0^2 \dot r_0$$ (7.20)

$$\Rightarrow \qquad\dot r_0 = -\Omega j_B$$

$$= \Omega \tilde D_B{c_0-c_B'\over r_0}$$ (7.21)

$$\Rightarrow \qquad r_0^2(t)-(r_0^*)^2 = \Omega \tilde D_B(c_0-c_B')\cdot t$$ (7.22)

Das gesamte ausgeschiedene Volumen ist

$$X(t) = N ({4\over 3}\pi r_0^3)$$

$$= N {4\over 3}\pi (\tilde D_B(c_0-c_B'))^{3/2}\cdot t^{3/2}$$ (7.23)

und entsprechend sinkt die Matrixkonzentration

$$\overline{c}(t) = c_0-{N\over V}\cdot c_\beta\cdot {4\over 3}\pi (\tilde D_B(c_0-c_B'))^{3/2}\cdot t^{3/2}$$ (7.24)