%%% Vortrag am 11. Februar 1998 in Augsburg
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\rightfooter{}%\quad\textsf{\thepage/\pageref{lastpage}}}

\title{\mbox{Quanten-Monte-Carlo-Simulationen} \mbox{in der dynamischen Mean-Field-Theorie}}
\author{Karsten Held\\
  Universit"at Augsburg}
\date{19. Februar 1998}

\begin{document}
  \maketitle

  \hspace*{5.3cm}\psfig{file=logo_farbe.eps,height=5cm,silent=}

  \vspace*{0.5cm}

  \begin{center}
    \begin{enumerate}
    \item Dynamische Mean-Field-Theorie
    \item \"Aquivalenz zum Single-Impurity-Anderson-Modell
    \item  \textcolor{red} {Quanten-Monte-Carlo-Simulation}
      \begin{enumerate}
      \item[A.] Wechselwirkende ${\blue e^{-}}$ $\red \rightarrow$ unabh\"angige  ${\blue e^{-}}$
               ${\red +}$ Hilfsfeld
      \item[B.] Monte-Carlo-Integration
      \item[C.] Ein Beispiel 
     \end{enumerate}
    \end{enumerate}
 \end{center}

  \foilhead[-1cm]{1. Dynamische Mean-Field-Theorie}
  \vspace{-.4cm}
  \hspace*{\fill} {\small Metzner, Vollhardt '89;}\\
   \hspace*{\fill} {\small M\"uller-Hartmann '89; Jani\v{s} '91}\\

  \vspace{1cm}
  
  \textcolor{blue} {als Bild ...}
  \vspace{7cm}
  
  \textcolor{blue} { ... und in Formeln ...}\\

\vspace{.3cm}

 ein Gitterplatz im dynamischen Medium $\textcolor{red}{{\cal G}^{-1}}={\green G^{-1}}+{\blue \Sigma}$
 \begin{eqnarray}    
 \textcolor{green}{G_{\sigma \tau}} \! & \!= \! & \! -\langle{\cal T} c_\sigma^\vdag (\tau) c_\sigma^{\dagger}(0)\rangle  = \;
-\langle\Psi^\vs_{\sigma \tau} \Psi^*_{\sigma 0}\rangle \nonumber\\ \nonumber
        \! & \!= \!&  \!  -\frac{1}{\cal Z} \!
 \int \!{\cal D} [\Psi,\Psi^*]  \;\Psi^\vdag_{\sigma \tau} \Psi^*_{\sigma 0} \times \\ \nonumber &&
 \hspace{-.4cm}\exp \big( \mbox {Tr} \; \Psi^*_{\sigma' \tau''}\,
\textcolor{red}{{\cal G}^{-1}_{\sigma', \tau''-\tau'}} \, \Psi_{\sigma' \tau'}
   - \textcolor{red}{ U }\! \int\limits_0^\beta \!
d \tau' \, \Psi^*_{\uparrow \tau'} \Psi^\vs_{\uparrow \tau'}
 \Psi^*_{\downarrow \tau'} \Psi^\vs_{\downarrow \tau'} \big)
\end{eqnarray}
  {$ \mathbf {\red +}$}\\ 

\vspace{.3cm}

  Selbstkonsistenz (Dyson-Glg.)
\begin{equation*}
\textcolor{green}{G_\sigma(i \omega_n)} = 
\sum_{\mathbf k}\frac{1}
{i \omega_n +  \mu - \textcolor{blue}{\Sigma_\sigma(i \omega_n)}- \epsilon_{\mathbf k}} \phantom{ashfgjhjdhgjhgdfjhg}
\end{equation*}


  \foilhead[-1cm]{Iterative L\"osung der DMFT-Gleichungen}
\vspace{2cm}

Struktogramm: \\
\vspace{2cm}

\unitlength=1mm
\special{em:linewidth 0.4pt}
\linethickness{0.4pt}
\begin{picture}(130.00,97.50)
\put(4.00,7.50){\framebox(156.00,90.00)[cc]{}}
\put(4.00,82.50){\framebox(156.00,15.00)[cc]{
\parbox{12cm}{W"ahle eine Selbstenergie \protect$ \textcolor{blue}{\Sigma}$}}}

\put(12.00,22.50){\framebox(148.00,60.00)[cc]{}}

\put(7.00,12.00){
\parbox{15cm}{Iteriere solange mit $ \textcolor{blue}{\Sigma} =
   \textcolor{blue}{\Sigma_{NEU}}$ \, bis 
$ ||
   \textcolor{blue}{\Sigma} - \textcolor{blue}{\Sigma_{NEU}}|| < \epsilon $ }}

\put(12.00,67.50){\framebox(148.00,15.00)[cc]
 {\parbox{11cm}{$\textcolor{green}{G} = 
\sum \; 1/( \omega +  \mu - \textcolor{blue}{\Sigma} - \epsilon)$}}}

\put(12.00,52.50){\framebox(148.00,15.00)[cc]
{\parbox{11cm}{${\cal  \textcolor{red}{G}} \: {=} \: (  \textcolor{green}{{G}^{-1}}+ \textcolor{blue}{\Sigma}
)^{-1}$}}}

\put(12.00,37.50){\framebox(148.00,15.00)[cc]
{\fcolorbox[named]{Black}{Yellow}{\parbox{14cm}{\parbox{14cm}{\hspace{2.3em}$  \textcolor{green}{G}  \:
    {=}  \:  -\frac{1}{\cal Z} \!
 \int \!{\cal D} [\Psi,\Psi^*]  \;\Psi \Psi^* \mbox{exp} \{\textcolor{red}{ {\cal G}^{-1} +U} \}$}}}}}

\put(12.00,22.50){\framebox(148.00,15.00)[cc]
{\parbox{11cm}{
 $ \textcolor{blue}{\Sigma_{NEU}} = { \textcolor{red}{\cal G}}^{-1} -  \textcolor{green}{G ^{-1
}}$}}}
\end{picture}
  

Problem:\\
Wie l\"ost man das \textcolor{green} {DMFT-Funktionalintegral}?


  \foilhead[-1cm] {2. \"Aquivalenz zum Single-Impurity-Anderson-Modell}
  \vspace{-.6cm}
  \hspace*{\fill} {\small Georges, Kotliar '92}\\
   \hspace*{\fill} {\small Jarrell '92}\\
  \vspace{.3cm}

   Single-Impurity-Anderson-Modell:\\

  \vspace{-.8cm}
  
 \phantom{bla} ($c^\dagger$: Leitungselektronen, $f^\dagger$: Impurity-Elektronen)
\begin{eqnarray*}
 {\cal H}_{\mbox{\small SIAM}} &=& \sum_{k  \, \sigma}
  \epsilon^\vdag_{k} c^\dagger_{k \, \sigma}  c^\vdag_{k \, \sigma}
+ V \sum_{k  \, \sigma}
 \left( f^\dagger_{ \sigma}  c^\vdag_{k \, \sigma}+   c^\dagger_{k \, \sigma}f^\vdag_{ \sigma}\right)  \nonumber \\ \nonumber &&
 + \epsilon_f \sum_{\sigma}n_{f \, \sigma}
+ U {n}_{f \, \uparrow} {n}_{f \, \downarrow}
\end{eqnarray*}
Hamiltonian ist quadratisch in $c$-Operatoren \\
$\Longrightarrow$ ausintegriert der $c$'s durch Gau{\ss}-Integral: \\

\vspace{-1.7em}

\begin{equation*}
 \int dx \; \exp\big(-\frac{1}{2}a x^2+b x y\big) = \sqrt{\frac{2 \pi}{a}} \; \exp\big(\frac{b^2}{2 a}\;y^2\big) \hspace{1em}
\end{equation*}

\vspace{1.9em}

$\Longrightarrow$ effektive Wirkung f\"ur $f$-Elektronen\\

\vspace{-2.3em}

\begin{equation*}
S_{\mbox{SIAM}} =  \mbox {Tr} \; \Psi^*\,\textcolor{red}{{\cal G}^{-1}} \, \Psi
  \; - \;\textcolor{red}{ U } \int\limits_0^\beta
d \tau \, \Psi^*_\uparrow \Psi^\vs_\uparrow
 \Psi^*_\downarrow \Psi^\vs_\downarrow
\end{equation*}

\vspace{-3.3em}



\begin{equation*}
  \textcolor{red}{{\cal G}^{-1} (i \omega_n)} = i \omega_n - \epsilon_f + \sum_{\mathbf k} \frac{V^2}{i
  \omega_{n} - \epsilon_{\mathbf k}} 
\end{equation*}

\vspace{1.em}

mit geeignetem $\epsilon_{\mathbf k}$ ist dies Wirkung des \textcolor{green}{DMFT-Funktionalintegrals}! \\

\vspace{2.5em}

Berechnung des \textcolor{green}{DMFT-Funktionalintegrals} mit Standardmethoden 
f\"ur das  SIAM,
z.B. numerisch mit Quanten-Monte-Carlo-Simulationen.




 \foilhead[-1cm] {3. Quanten-Monte-Carlo-Simulation}
  \vspace{-.5cm}
  \hspace*{\fill} {\small Hirsch, Fye '86}\\


 \vspace{1cm}
 {\large \bf Idee:}\\
 
 \vspace{.5cm}

  Wechselwirkende Elektronen $\rightarrow$ unabh\"angige Elektronen im Hilfsfeld\\


 \vspace{5cm}
   
  unabh\"angige Elektronen: einfaches Gau{\ss}-Integral\\
  aber f\"ur jeden Zeitschritt ein Hilfsfeld, d.h.\\
  \textcolor{red}{exponentiell} viele Summanden ($2^L$; $L$: \#Zeitschritte).

 \vspace{.8cm}

  Standardverfahren zur Berechnung von hochdimensionalen Integralen:\\
   \textcolor{blue}{Monte-Carlo ``importance sampling''}\\
 
\vspace{3.em}
\fcolorbox[named]{Black}{Yellow}{\parbox{5.3cm}{
   ``{\blue Important}'' Bereich des Phasenraumes wird
   besonders\\ genau ge``{\blue sampled}''
   (mit Zufallszahlen).
}}
  
\vspace{4.em}
   \textcolor{red}{exponentielles} Problem  $\Longrightarrow$  \textcolor{red}{polynomiales} Problem


 \foilhead[-1cm] {Trotter-Zerlegung}


 \vspace{1cm}
 {\large \bf Zeit-Diskretisierung:}\\
 \parbox{9cm}{
 \begin{eqnarray*}
   \int_0^\beta d\tau & \rightarrow  & {\blue \Delta \tau} \sum_{l=1}^{L} \hfill \\
   \Psi(\tau)     &  \rightarrow  &  \Psi_l \hfill
 \end{eqnarray*}} \\


  F\"uhrt unphysikalischen Grid-Parameter ${\blue \Delta \tau}=\beta/L$ ein.\\
  Sp\"ater Extrapolation ${\blue \Delta \tau} \rightarrow 0$.

 \vspace{1cm}
 {\large \bf Trotter-Zerlegung:}
 \begin{eqnarray*}
  e^{{\blue \Delta \tau} \hat{A}\; + \; {\blue \Delta \tau} \hat{B}} &=&  e^{{\blue \Delta \tau} \hat{A}}
  e^{{\blue \Delta \tau} \hat{B}} + \frac{1}{2}{\blue \Delta \tau}^2 [\hat{A},\hat{B}] + {\cal O}{( {\blue \Delta \tau}^3)}
 \end{eqnarray*}

 
 Auf jedem Zeitschritt wirken die Operatoren $\hat{A}$ und  $\hat{B}$ entkoppelt.

 Hier entsprechen   $\hat{A}$ und  $\hat{B}$
 dem ${\red {\cal G}^{-1}}$-- und ${\red U}$--Term.

 \foilhead[-1cm] {Hubbard--Stratonovich--Transformation}
 
 \vspace{1cm}
  {\large \bf Ziel:}\\

   Wechselwirkende Elektronen \hspace{.5cm} $\rightarrow$ unabh\"angige Elektronen im Hilfsfeld\\

  \vspace{8cm}
  Allgemein: Transformation durch Gau{\ss}-Integration.\\
  F\"ur die vier  Fermionen-Zust\"ande ${\green 0}$, ${\green \uparrow}$, ${\green \downarrow}$ und  ${\green  \uparrow\downarrow}$\\
  reicht diskrete Summe:
\begin{equation*}
 \exp \big(
   \frac{\Delta\tau U}{2}
     (n_{\uparrow }- n_{\downarrow })^2\big)  =
\frac{1}{2} {\blue \sum_{ s_l\,  = \pm 1}}
\exp\big( \lambda {\blue s_l}
     (n_{\uparrow }- n_{\downarrow })  \big) 
\end{equation*}
mit $\cosh(\lambda)=\exp(\Delta\tau U/2)$ \\

\vspace{.8em}

Insgesamt $L$  Hilfsfelder ${\blue s_l}$ (Ising-Spins).
 


\foilhead[-1cm] {Wicksches Theorem}

 \textcolor{green} {DMFT-Funktionalintegral} ist jetzt\\
 Hilfsfeld-Summe unabh\"angiger Elektronen:
\begin{equation*}
 {\mathbf G} =
\frac{1}{\cal Z}
{\blue \sum_{ \{ s_l =\pm 1 \}} }
\int {\cal D} [\Psi, \Psi^*] \;\Psi
\Psi^* \;\exp \big( \mbox{Tr} \;
   \Psi^* {\mathbf M}
     {\Psi }\big)
\end{equation*}
mit \hspace{1em}
$M_{ l l'}^{\sigma} = \Delta \tau ^2 
 {{\red {\cal G}_\sigma^{-1}}}_{l,l'}- \Delta \tau \, \delta_{ll'} \, 
  {\blue s_l} \, \sigma.$

\vspace{1em}

Integriere Fermionen aus (Wicksches Theorem):
\begin{equation*}
 {\mathbf G} =
\frac{1}{{\cal Z}}
{\blue\sum_{ \{ s_l =\pm 1 \} }}
 {\mathbf M^{-1}} \;  \mbox{det} \, {\mathbf M}.
\end{equation*}

\vspace{-.5em}
\fcolorbox[named]{Black}{Yellow}{\parbox{17cm}{
   \begin{center}Diese Matrix-Gleichung versteht auch der Computer.\end{center}
}}
\vspace{.9em}

\"Andert man nur einen Ising-Spin ${\blue s_l}\rightarrow -{\blue s_l}$, so kann man die neue
Inverse ${\mathbf M^{-1}}$ aus der alten mit nur $L^2$ Rechenoperationen gewinnen.

$\Longrightarrow$ {Vollst\"andige Summation (Gray-Code)
\"uber alle  ${\blue\{ s_l\}}$:\\
$\phantom{\Longrightarrow}$ $2 \times 2^L L^2$ Multiply-Add-Operationen.}\\
\vspace{.2em}
Dies ist bis zu $L=20$ Zeitschritten m\"oglich.



\foilhead[-1cm] {Monte-Carlo-Integration}

\vspace{1em}
{\bf  Zu berechnen:} $\int d {\mathbf x} \; f({\mathbf x})$\\

\vspace{2em}

Separiere  $f({\mathbf x}) =   \, P({\mathbf x})\, O({\mathbf x})$ mit \\
{\red Wahrscheinlichkeits-Verteilung} ${ P}({\mathbf x}) \geq 0$ mit  $\int dx \, P({\mathbf x}) = 1$\\
und {\red Restterm} $O({\mathbf x})$.\\

\vspace{1.99em}
\fcolorbox[named]{Black}{Yellow}{\parbox{13cm}{
QMC-Simulation:\hspace{.5em} $P \propto \mbox{det}{\mathbf  M}$, \hspace{1.5em} $O={\mathbf M^{-1}}$
}}

\vspace{2.em}

Sample ${\mathbf x}$ nach $P({\mathbf x})$, summiere $O({\mathbf x})$:\\

\vspace{-1.cm}

\begin{eqnarray*}
\int d {\mathbf x} f({\mathbf x}) &= &\int d {\mathbf x} P({\mathbf x})\, O({\mathbf x}) \\
&=& \frac{1}{N} \hspace{-1em}
\sum_{\stackrel{i = 1}{{\mathbf x}_i \mbox{ nach } P({\mathbf x})}}^{N} \hspace{-1em} \! O({\mathbf x}_i)
\; \pm \; \frac{1}{\sqrt{N}} \sqrt{<\! O^2 \!>^{\phantom{2}}_{\red P} -<\! O \!>^2_{\red P}}
\end{eqnarray*}

\vspace{1.cm}

Wie realisiert man  $P({\mathbf x})$? \hspace{1em} {\green Markov-Proze{\ss}!} \\

\vspace{.5em}

\"Ubergang von $ {\mathrm x}$ nach  $ {\mathrm x'}$  
mu{\ss} {\green detaillierte Bilanz} erf\"ullen:
\vspace{-1.5cm}

\begin{equation*}
P({\mathbf x}) {\cal P}({\mathbf x} \rightarrow {\mathbf x'}) =
P({\mathbf x'}) {\cal P}({\mathbf x'} \rightarrow{\mathbf x}) 
\end{equation*}



z.B. nach Metropolis et al.

\vspace{-1.5cm}

\begin{equation*}
{\cal P}({\mathbf  x} \rightarrow {\mathbf x'}) = \mbox{ min} \left \{1,P( {\mathbf x')}/P( {\mathbf x}) = \mbox{det}\, {\mathbf M'} / \mbox{det}\,{\mathbf M} \right\} 
\end{equation*}

\foilhead[-1cm] {Bemerkungen zum QMC-Algorithmus}

\vspace{3cm}


\begin{itemize}
\item Aufwand: {\blue $100000 \; L^3$} Multiply-Add-Operationen/DMFT-Iteration
\vspace{1.4em}
\item {ca. \blue $L=200$ Zeitschritte} m\"oglich 
\vspace{1.4em}
\item geringer Speicherplatzbedarf: {\red 10 MB Hauptspeicher}
\vspace{1.4em}
\item gute Vektorisierung: bis  {\red 1 GFlop/s} auf  VPP-700
\end{itemize}

\vspace{3cm}

f\"ur folgendes Beispiel: {\red 1000 CPU-Stunden} auf VPP-700 
\vspace{.3em}



\foilhead[-1cm] {Ein Beispiel: Berechnung eines magnetischen Phasendiagramms }

QMC-Simulation $\Rightarrow$ Suszeptibilit\"at $\chi({\blue\Delta \tau}, T) \, \pm \, \Delta \chi({\blue \Delta \tau}, T) $

\vspace{.5cm}

{ \large \bf 1. Extrapolation ${\blue \Delta \tau} \rightarrow 0$}

\vspace{.5cm}

\begin{figure}
\unitlength1cm \epsfxsize=15cm  \epsfbox{vortrag.ps}
\vspace{1cm}
\end{figure}


quadratischer ``least-square''-Fit in ${\blue \Delta \tau}$\\
 $\Rightarrow$ physikalische Suszeptibilit\"at $ \chi(T) \, \pm \, \Delta \chi(T)$\\


\foilhead[-1cm] {}
{ \large \bf  2. Kritische Temperatur}



Phasen\"ubergang
Paramagnet $\longrightarrow$ Ferromagnet bei\\
{\red Divergenz der magnetischen Suszeptibilit\"at}  $\chi(T_c)^{-1}=0$\\

\vspace{1.cm}

\begin{figure}
\unitlength1cm \epsfxsize=15cm  \epsfbox{chivsT.ps}

\vspace{1cm}
\begin{center}{Linearer  Curie-Weiss-Fit in der N\"ahe von $T_c$}\end{center}
\end{figure}


\foilhead[-1cm] {Magnetisches Phasendiagramm}
\vspace{2cm}

\begin{figure}
\unitlength1cm \epsfxsize=15cm  \epsfbox{phasdiag.color.ps}
\vspace{1cm}
\begin{center}{2-Band Hubbard-Modell mit Hundscher Kopplung}\end{center}
\end{figure}


  \label{lastpage}
\end{document}