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06046


Physik (Master) Wintersemester 2012/2013
06046 Variationsrechnung [MastMathVarRech] [WPV]
   
Dozent Schmidt B.
Dauer 4 SWS
Studiensemester 1
Schein Ja (Klausur; 9 LP)
Termin Do, 10:00-11:30 u. Fr, 12:15-13:45, 1010/L1
Inhalt In der Variationsrechnung geht es um optimale Lösungen und deren wesentlichen Eigenschaften. Genauer gesagt geht es darum, Extremstellen und kritische Punkte (nichtlinearer) Funktionale auf typischerweise unendlichdimensionalen Rämen, meist Funktionenräumen, zu untersuchen. Die sind besonders wichtig, da sich in der Natur oft optimale Zustände ausbilden. Wichtige Anwendungen finden sich in der Elastizitätstheorie, der Lagrangeschen Mechanik, der geometrischen Optik, der Quantenmechanik, ... Auch in anderen mathematischen Gebieten wie insbesondere der Differentialageometrie und der Theorie der partiellen Differentialgleichungen lassen sich variationelle Methoden mit großem Nutzen anwenden.

In dieser Vorlesung werden zunächst einige klassische eindimensionale Probleme besprochen. Nach einem Abriss über die Theorie der Sobolevräume und der Funktionen beschränkter Variation besprechen wir die direkte Methode und insbesondere allgemeine Integralfunktionale in mehreren Dimensionen. Wir diskutieren dabei auch die in diesem Zusammenhang wichtigen Konvexitätskonzepte. Im Anschluss daran werden nicht-konvexe Probleme, die i.A. keine Lösung zulassen, und ihre Relaxation untersucht. Schleßlich geben wir am Ende der Vorlesung auch noch eine Einführung in einige moderne Aspekte der Theorie und behandeln, soweit es die Zeit erlaubt: Gamma-Konvergenz, Verzweigungstheorie und Sattelpunktmethoden.

Begleitend 06047