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06079


Physik Sommersemester 2008
06079 Seminar über mathematische Aspekte in der Physik [S]
   
Dozent Scheidegger E., Carberry E., Gray O.
Dauer 2 SWS
Studiensemester 6
Schein Ja (Vortrag)
Inhalt Morse-Theorie ist ein Teilbereich der Differentialtopologie und liefert einen sehr direkten Weg, die Topologie von Mannigfaltigkeiten dadurch zu beschreiben, indem man differenzierbare Funktionen auf dieser Mannigfaltigkeit betrachtet. Zentral in dieser Betrachtung sind dabei die kritischen Punkte solcher Funktionen, sowie Geodäten zwischen diesen kritischen Punkten.

Edward Witten hat 1982 beobachtet, dass Morse-Theorie mit einer physikalischen Theorie, nämlich mit supersymmetrischer Quantenmechanik beschrieben werden kann. Hier entsprechen die kritische Punkte den supersymmetrischen Vakua der Theorie, und die Geodäten entsprechen nicht-perturbativen Zuständen, nämlich den Instanton-Konfigurationen.

Ziel dieses Seminars ist es, die wesentlichen Grundlagen der Morse-Theorie und der Supersymmetrie in der Quantenmechanik zu erarbeiten, um dann die Arbeit von Witten zu studieren. Dies ist ein äusserst schönes Beispiel fuer die Wechselwirkungen zwischen Physik und Mathematik.

Wittens Arbeit hat sowohl in der Physik als auch in der Mathematik zu völlig neuen Einsichten geführt, die im Konzept der topologischen Feldtheorie kulminiert sind. Witten ist 1990 unter anderem dafür als erster und bisher einziger Physiker mit der höchsten Auszeichnung in der Mathematik, der Fields-Medaille, geehrt worden.

Als Anwendungen seien erwähnt, dass in der Mathematik dieser Zugang neue Beweise der verschiedenen Indexsätze liefert. In der Physik wiederum spielt die Supersymmetrie gerade in der Teilchenphysik eine grosse Rolle, soll doch die supersymmetrische Erweiterung des Standardmodells mit dem LHC am CERN experimentell getestet werden, beginnend im Sommer diesen Jahres.

Vorkenntnisse Analysis I, II, Lineare Algebra I, II

Kenntnisse in Riemannscher Geometrie/Differentialgeometrie sind hilfreich, aber nicht erforderlich.

Literatur E. Witten, Supersymmetry and Morse Theory, J. Differential Geometry, 17 (1982) 661 - 692.

J. Milnor, Morse Theory, Annals of Mathematics Studies, 51, Princeton University Press (1963)

K. Hori et al., Mirror Symmetry, Clay Mathematics Monographs 1, AMS (2003)