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Wechselwirkende Vielteilchensysteme im Phasenraum


Projektstart: 01.01.2000
Projektträger: Universität Augsburg, von 2000 bis 2005 Teilprojekt im SFB484
Projektverantwortung vor Ort: Gert-Ludwig Ingold Peter Hänggi (bis Ende 2005)
Publikationen: Link zur Publikationsliste

Zusammenfassung

Lokalisierungsübergänge sowie verschränkte Spin-½-Zustände werden mit Hilfe der Husimi-Funktion untersucht. Als positiv definite Phasenraumverteilung erlaubt es die Husimi-Funktion unter anderem, quantitativ zu beschreiben, wie stark ein Quantenzustand im Phasenraum lokalisiert ist. Der inverse participation ratio ist dabei besonders geeignet, im Falle von Lokalisierungsübergängen in ungeordneten Systemen ein Unordnungsmittel zu berechnen. Für verschränkte Zustände ergibt sich ein Zusammenhang mit der Länge des concurrence-Vektors.

Beschreibung

Lokalisierungsübergänge

Husimifunktion

Da es eine Phasenraumbeschreibung ermöglicht, gleichzeitig Orts- und Impulseigenschaften eines Quantenzustands zu erfassen, eignet sie sich besonders gut, um Lokalisierungsübergänge zu beschreiben. Als Funktion eines Parameters, z.B. der Potentialstärke, findet dabei ein Übergang von einem im Ortsraum ausgedehnten und im Impulsraum lokalisierten Zustand zu einem im Ortsraum lokalisierten Zustand, der im Impulsraum delokalisiert ist, statt. Nachdem mit der Husimi-Funktion, für die ein Beispiel in der Abbildung zu sehen ist, eine positiv definite Phasenraumverteilung zur Verfügung steht, kann der Übergang mit Hilfe der Wehrl-Entropie untersucht werden (WKIH99).

Da die numerische Berechnung der Wehrl-Entropie sehr aufwendig ist, wird eine Erweiterung auf zwei- und dreidimensionale Systeme erst möglich, wenn man sich auf den inverse participation ratio beschränkt, wie in WIHW02 gezeigt ist. Ein einführender Übersichtsartikel zu diesem Thema ist IWAH03.

Weitere Einsichten in die Funktionsweise des Anderson-Übergangs in ungeordneten Systemen in Abhängigkeit von der Raumdimension erhält man durch Betrachtung der Aubry-André-Modells. Bei diesem eindimensionalen Modell tritt ein Lokalisierungsübergang als Funktion der Stärke eines quasiperiodischen Potentials auf. Im Vergleich mit dem Anderson-Übergang in einer Dimension ergibt sich ein ganz anderes Szenario in den Phasenraumeigenschaften. Während sich die Phasenraumverteilung beim Anderson-Übergang in einer Dimension zusammenzieht, dehnt sie sich beim Aubry-André-Modell mit zunehmender Potentialstärke bei der Annäherung an den Übergang zunächst aus, um beim Durchgang durch den Phasenübergang stark zu lokalisieren (IWAH02). Der Unterschied zwischen den beiden Modellen liegt somit im unterschiedlichen Verhalten im delokalisierten Bereich. Die Ursache hierfür ist in der unterschiedlichen Kopplung zwischen Impulseigenzuständen in den beiden eindimensionalen Modellen zu suchen.

Eine detaillierte numerische Untersuchung des Anderson-Modells in ein, zwei und drei Dimensionen sowie störungstheoretische Resultate wurden in WIHW03 publiziert. Es zeigt sich, dass das Anderson-Modell in zwei und drei Dimension das gleiche Verhalten des inverse participation ratio als Funktion der Potentialstärke aufweist wie das eindimensionale Aubry-André-Modell. Allerdings verschiebt sich der Anderson-Übergang in zwei Dimensionen mit zunehmender Systemgröße erwartungsgemäß hin zu verschwindender Potentialstärke. In AWIHV04 werden Anderson- und Aubry-André-Modell gegenübergestellt. In Animationen wird dabei das Phasenraumporträt ausgewählter Zustände als Funktion der Potentialstärke gezeigt. Diese Animationen sind unter Supplementary Data bei der Originalpublikation frei verfügbar.

Verschränkte Zustände

Bellzustand im Phasenraum

Während die Husimi-Funktion bei der Analyse der Lokalisierungsübergänge mit Hilfe von kohärenten Zuständen des harmonischen Oszillators definiert werden, verwendet man bei der Untersuchung verschränkter Zustände von Spin-½-Teilchen spinkohärente Zustände auf der Blochkugel. Die Abbildung zeigt eine solche Husimi-Funktion für einen Bell-Zustand, in dem die Produktzustände |01> und |10> überlagert sind. Die Brücke in der Mitte ist eine Folge der phasenkohärenten Überlagerung und verschiebt sich, wenn die beiden Produktzustände mit einer anderen relativen Phase überlagert werden.

Bereits diese Abbildung gibt Hinweise darauf, dass die Verschränkung die Verteilung im Phasenraum und damit den inverse participation ratio beeinflusst. Tatsächlich lässt sich für reine Zustände einer beliebigen Zahl von Spin-½-Teilchen ein Zusammenhang mit der Länge des concurrence-Vektors herstellen (SI07). Ferner kann man dieses Phasenraummaß verwenden, um die Verschränkung an einem Phasenübergang zu untersuchen, wie am Beispiel des Ising-Modells in einem zur Quantisierungsachse gekippten Magnetfeld gezeigt wurde. Die graphische Darstellung von Husimi-Funktionen für mehr als zwei Teilchen wird aufgrund der hohen Dimensionalität des Phasenraums schwierig, so dass man sich auf Schnitte beschränken muss. Dennoch konnte in Ingold07 gezeigt werden, dass die Phasenraumstruktur von GHZ- und W-Zuständen für drei Teilchen in Übereinstimmung mit der unterschiedlichen Art von Verschränkung wesentlich verschieden ist.