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Dissipative Quantensysteme


Projektstart: 01.05.1994
Projektträger: Universität Augsburg
Projektverantwortung vor Ort: Gert-Ludwig Ingold
Publikationen: Link zur Publikationsliste

Zusammenfassung

System und Umgebung

Physikalische Systeme sind praktisch nie vollkommen von ihrer Umgebung entkoppelt, sondern stehen in Wechselwirkung mit vielen anderen Freiheitsgraden. Dadurch kann es zu einem irreversiblen Transfer von Energie vom System in die Umgebung kommen, einem Prozess der als Dissipation bezeichnet wird. Zudem übt die Umgebung eine fluktuierende Kraft auf das System aus. Es kommt zu Fluktuationen der Systemgrößen, die sich zum Beispiel in der diffusiven Bewegung eines brownschen Teilchens äußern. Schließlich führt die Ankopplung an die Umgebung in der Quantenmechanik zum Phänomen der Dekohärenz.

In diesem Projekt wird Dissipation in Quantensystemen untersucht. Dabei werden sowohl grundlegende konzeptionelle Fragestellungen als auch konkrete Quantensysteme unter dem Einfluss von Umgebungsfreiheitsgraden betrachtet.

Beschreibung

Bad harmonischer Oszillatoren

Zur Beschreibung von dissipativen Quantensystemen wird häufig ein Modell verwendet, bei dem das System bilinear an ein Bad harmonischer Oszillatoren gekoppelt ist, wie dies schematisch in der Abbildung angedeutet ist. Bereits 1959 wurde von Magalinskiĭ für dieses Modell gezeigt, dass sich nach Elimination der Badfreiheitsgrade eine gedämpfte effektive Bewegungsgleichung für den Systemfreiheitsgrad ergibt. Dieses Modell wird heute häufig als Caldeira-Leggett-Modell bezeichnet, da A. O. Caldeira und A. J. Leggett in den 80er Jahren nachwiesen, dass das Modell auch für starke Dämpfung anwendbar ist, und damit die Untersuchung von makroskopischen Quantenphänomenen wesentlich voranbrachten.

In diesem Projekt werden dissipative Quantensysteme im Allgemeinen im Rahmen des Caldeira-Leggett-Modells beschrieben, und es kommt häufig die feynmansche Pfadintegralmethode zum Einsatz. Eine ausführliche Darstellung der Behandlung einer breiten Klasse von Anfangsbedingungen für System und Bad sowie die Anwendung auf den gedämpften harmonischen Oszillators und das freie brownsche Teilchen findet man in GSI88. Dieser Zugang wurde auch genutzt, um Quantenkorrekturen zu dissipativen Hüpfraten für parabolische Barrieren zu berechnen (AGI95).

Eine Einführung in die feynmansche Wegintegralmethode mit Anwendungen auf dissipative Quantensysteme gibt Ingold02, während sich DHIKSZ98 diesem Thema von der Seite der statistischen Physik nähert. Einblicke in fundamentale Aspekte der quantenmechanischen brownschen Bewegung findet man in HI05, während Ingold97 eine kurze Einführung in das Thema Quantendissipation gibt.

Thermodynamik bei nicht verschwindender Badkopplung

Nicht vernachlässigbare Kopplung zwischen System und Umgebung

In der Gleichgewichtsthermodynamik geht man normalerweise davon aus, dass das System unendlich schwach an das Wärmebad gekoppelt ist. Wenn Quanteneffekte wichtig werden, also zum Beispiel für Nanosysteme, ist diese Näherung häufig nicht mehr gerechtfertigt. Vielmehr ist es typischerweise so, dass das System, wie in der Abbildung angedeutet, zumindest an einen Teil der Umgebung nicht vernachlässigbar schwach gekoppelt ist. Dann stellt sich die Frage, wie man thermodynamische Größen in einer solchen Situation definiert. So kann man beispielsweise die spezifische Wärme auf der Basis des Erwartungswerts der Systemenergie bestimmen. Alternativ kann man aber auch die reduzierte Zustandssumme heranziehen. Dabei stellt sich heraus, dass die damit erhaltenen spezifischen Wärmen im Allgemeinen verschieden sind, wie in HI06 gezeigt wurde. Selbst die führenden Hochtemperaturkorrekturen zum klassischen Resultat sind im Allgemeinen verschieden.

Interessanterweise findet man für den Zugang über die reduzierte Zustandssumme, dass die spezifische Wärme eines freien brownschen Teilchens für bestimmte spektrale Verteilungen der Badoszillatoren für niedrige Temperaturen negativ werden kann (HIT08). Negative Werte für die spezifische Wärme sind in diesem Fall nicht – wie man vielleicht zunächst vermuten würde – mit einer thermodynamischen Instabilität verknüpft. Die aus der reduzierten Zustandssumme erhaltene spezifische Wärme lässt sich vielmehr als Änderung der spezifischen Wärme verstehen, wenn man den Systemfreiheitsgrad an die Badfreiheitsgrade koppelt. Während die spezifische Wärme des Bades sowie die spezifische Wärme von System und Bad jeweils beide positiv sind, kann die Differenz durchaus negativ werden. Dies lässt sich bereits für ein einfaches Modell zeigen, bei dem ein freies Teilchen an einen einzelnen Badoszillator gekoppelt wird (IHT09). Aus der Sicht des Wärmebades führt die Ankopplung an den Systemfreiheitsgrad zu einer Verschiebung der Badoszillatoren zu höheren Frequenzen und damit letztlich zu einer Verringerung der Oszillatordichte bei niedrigen Frequenzen (Ingold11). Damit wird eine negative spezifische Wärme möglich.

Ein verwandtes Phänomen besteht darin, dass sich ein freies brownsches Teilchen mit abnehmender Temperatur zunehmend quantenmechanischer und dann bei sehr tiefen Temperaturen überraschenderweise wieder klassisch verhält (SIW13). Voraussetzung für dieses reentrante Verhalten ist ein hinreichend superohmsches Bad. Hierbei ist die Zustandsdichte des Bades bei kleinen Frequenzen unterdrückt, so dass das Bad nicht mehr in der Lage ist, dem freien Teilchen bei tiefen Temperaturen ein quantenmechanisches Verhalten zu ermöglichen.

Auch wenn das freie brownsche Teilchen als ein eher akademisches System erscheinen mag, sind diese Ergebnisse auch für andere Problemstellungen relevant. In ILR09 wurde gezeigt, dass ein ähnliches Szenario wie beim freien brownschen Teilchen auch beim Casimir-Effekt auftritt. Wenn man zwei parallele metallische Spiegel betrachtet und die darin befindlichen Elektronen im Rahmen des Drude-Modells beschreibt, so findet man bei tiefen Temperaturen eine negative Entropie, die mit zunehmender Temperatur zunächst weiter abfällt.

Semiklassische Methoden

In verschiedenen Zusammenhängen kamen in diesem Projekt semiklassische Methoden zum Einsatz. Durch die Ankopplung an die Umgebung können Übergänge zwischen Energieeigenzuständen des Systems auftreten, die in einer endlichen Niveaubreite dieser Zustände resultieren. Da die Breite der Energieeigenzustände eines gedämpften harmonischen Oszillators proportional zur Quantenzahl des Zustands und, für große Quantenzahlen, zur Energie des Zustands ist, wurde in IJR01 die Frage gestellt, ob die Quantenzahl oder die Energie die relevante Größe ist. Für eindimensionale Potentiale, die asymptotisch einem Potenzgesetz folgen und die eventuell durch eine Potentialwand begrenzt sind, konnte ein Skalierungsgesetz für die Abhängigkeit der Niveaubreite von der Quantenzahl für große Quantenzahlen hergeleitet werden. Dieses Skalierungsverhalten lässt sich auch explizit für einige Spezialfälle wie den Halboszillator, den unendlich tiefen Potentialtopf und das eindimensionale Coulombproblem testen.

Ein aus semiklassischer Sicht interessantes System ist der ungedämpfte zweidimensionale harmonische Oszillator, der je nach dem Verhältnis der beiden Frequenzen drei verschiedene Szenarien für die periodischen Orbits aufweist. Beim isotropen harmonischen Oszillator sind alle Orbits periodisch, während bei inkommensurablen Frequenzen die einzigen periodischen Orbits entlang der Hauptachsen verlaufen. Bei kommensurablen Frequenzen kommen noch Familien von Lissajous-Trajektorien hinzu. Erst 1995 war von M. Brack und S. R. Jain gezeigt worden, dass eine semiklassische Behandlung des Problems die korrekten Eigenenergien liefert. Dabei wurde der kommensurable Fall jedoch als Grenzfall des inkommensurablen Falls betrachtet. In DI07 wurde dagegen der Beitrag der Familien periodischer Orbits im kommensurablen Fall vollständig ausgewertet. Dabei wird deutlich, wie die verschiedenen periodischen Orbits auch im kommensurablen Fall zu den exakten Eigenenergien führen. Zudem lassen sich bei diesem Zugang die Symmetrieeigenschaften der verschiedenen Beiträge zur Zustandsdichte besonders gut analysieren.

Nichtklassische Trajektorien

Auch bei der Untersuchung von dissipativen Quantensystemen mit Hilfe der Wigner-Funktion im Phasenraum sind semiklassische Methoden von Interesse. Um zum besseren Verständnis des im Allgemeinen nichtlinearen Problems beizutragen, wurde in PID10 der exakt lösbare Fall des gedämpften harmonischen Oszillators im Phasenraum untersucht. Dabei konnte demonstriert werden, wie nichtklassische Trajektorien, die in der Abbildung in blau und rot dargestellt sind, die Wigner-Funktion bestimmen. Ferner konnte die mit der Zeit zunehmende Verbreiterung der Wigner-Funktion auf die durch die Umgebung induzierte nichtlokale Selbstwechselwirkung der Systemkoordinate zurückgeführt werden.

Ultrakleine Tunnelkontakte

Ein Beispiel für Systeme, in denen die Ankopplung an die Freiheitsgrade der Umgebung wesentlich ist, sind ultrakleine Tunnelkontakte. Diese Tunnelkontakte haben eine sehr kleine Kapazität, so dass die dem tunnelnden Teilchen – ein Elektron oder, im Fall von supraleitenden Kontakten, ein Cooperpaar – entsprechende Ladungsenergie wichtig wird. Dann spielt die elektromagnetische Umgebung des Tunnelkontakts eine entscheidende Rolle. Bei einem supraleitenden Tunnelkontakt, einem so genannten Josephson-Kontakt, hängt die Strom-Spannungs-Kennlinie sogar direkt mit der Impedanz der Umgebung zusammen. Eine ausführliche Einführung in dieses Thema gibt IN92.

Zu Beginn dieses Projekts wurden insbesondere ultrakleine Josephsonkontakte untersucht. Lässt man zunächst den Bereich extrem tiefer Temperaturen außer Acht, so kann man die Störungstheorie in der Josephsonenergie exakt aufsummieren und erhält so die Strom-Spannungs-Kennlinie (GIP98). Eine Zusammenfassung dieser Arbeit und zuvor erhaltener Ergebnisse gibt GI99. Interessanterweise ist es auch am absoluten Nullpunkt möglich, die Strom-Spannungs-Kennlinie zu erhalten (IG99, IG00, IG00a). Der Übergang zwischen dem Coulombblockaderegime, wo die Ladungsenergie dominiert und zu einem inkohärenten Tunneln von Cooperpaaren führt, und dem Josephsonregime, wo das Tunneln der Cooperpaare kohärent erfolgt, lässt sich besonders schön anhand der Rauscheigenschaften analysieren. Wie in GI02 gezeigt wurde, kann die Natur des Tunnelprozesses mit Hilfe des entsprechenden Fanofaktors bestimmt werden.