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Unterabschnitte


3. Versetzungen

Wie im letzten Kapitel gezeigt, reagiert ein Material auf eine äußere oder innere Spannung zunächst mit einer elastischen, reversiblen Formänderung. Erhöht man die Spannung jedoch über einen kritischen Wert $\sigma_c$, wird irgendwann die Formänderung nach Entlastung nicht mehr vollständig verschwinden, das Material hat sich plastisch verformt. Dies kann man scheinbar leicht verstehen, wenn man berücksichtigt, daß die meisten Materialien einen kristallinen Aufbau haben: Dies bewirkt, daß das Kristallpotential periodisch ist. Eine Dehnung über eine halbe Gitterkonstante hinaus führt in das nächste Potentialminimum, wie man leicht an dem Federmodell in Abb. [*] sieht.
Abbildung: Federmodell für die plastische Verformung: in den ersten drei Schritten werden Federn gedehnt, der vierte entspricht dem dritten mit geänderter Nachbarschaft, danach gehen die Federn wieder zusammen.
\begin{figure}
\parbox[b]{9cm}{
\psfig{figure=bilder/federmodell.ps,width=8cm...
...90}}
\parbox{0.3cm}{\mbox{}}
\parbox[b]{5cm}{
\vspace{5mm}}
\end{figure}
Berechnet man jedoch in diesem Modell die hierfür nötige Spannung, erhält man den riesigen Wert von
\begin{displaymath}
\sigma_c \approx {G\over \sqrt 5}\,.
\end{displaymath} (3.1)

Selbst eine Verfeinerung dieses Modell reduziert diesen Wert nur unwesentlich auf etwa ${G\over 10}$. Hiernach würde ein Kupferdraht von 1mm$^2$ Querschnitt (G=40GPa) eine Last von 4kN (entsprechend einem Gewicht von 400kG) tragen. Das Experiment zeigt jedoch, daß er schon bei etwa 0.2kN (entsprechend 20kG) beginnt, sich plastisch zu verformen.
Abbildung: Teppichmodell für die Verformung durch Versetzungsbewegung: es ist leichter, eine Falte durch den Teppich zu schieben als ihn als ganzes zu verschieben.
\begin{figure}
\psfig{figure=bilder/teppich.ps,width=14cm}
\end{figure}
Dieser scheinbare Widerspruch konnte erst in den dreissiger Jahren mit der Einführung des Konzeptes der Versetzung geklärt werden. Die Grundidee ist, daß sich nicht der ganze Kristall homogen verformt, sondern daß eine lokale, stark verzerrte Region den Kristall durchläuft. Dies ist analog zur Bewegung eines Teppichs: es ist viel leichter ihn zu verschieben, wenn man eine kleine Falte hineinbringt und diese durchschiebt, als ihn als ganzes über den Boden zu schieben (Abb.[*]).

3.1 Stufenversetzung, Schraubenversetzung, allgemeine Versetzung

Im Kristall sind diese Falten natürlich an die Gitterperiodizität gebunden. Der einfachste Fall ist die Stufenversetzung, die in Abbildung [*] zu sehen ist:
Abbildung: Schema einer Stufenversetzung, die (a) in den Kristall hineinläuft, (b), (c) sich im Kristall befindet und (d) ihn auf der anderen Seite verläßt
\begin{figure}
\psfig{figure=bilder/stufen_versetzung.ps,width=12cm}
\end{figure}
eine Kristallstufe läuft in den Kristall hinein, so daß im Inneren eine Extrahalbebene vorhanden ist. Durchläuft sie den Kristall komplett und tritt an der anderen Seite wieder aus, ist der Kristall um einen Gittervektor abgeglitten. An diesem Beispiel erkennt man schon eine Reihe wichtiger Charakteristika einer Versetzung: Der Burgersvektor ist eine wichtige Erhaltungsgröße für eine Versetzung; weder die Form noch die Lage des Burgersumlaufs ändert ihn. Ebenso kann der Burgersumlauf an jeder Stelle der Versetzungslinie gemacht werden - hieraus folgt, daß die Versetzung im Kristall nicht enden kann. Bei Versetzungsreaktionen muß der gesamte Burgersvektor erhalten bleiben. Ein Beispiel ist die Annihilation von Versetzungen mit entgegengesetzten Burgersvektoren, die in Abb. [*] gezeigt ist.
Abbildung: Annihilation zweier Stufenversetzungen mit entgegengesetzten Burgersvektoren: laufen sie auf der gleichen Gleitebene aufeinander zu, können die zwei Halbebenen sich zu einer kompletten Ebene vereinen.
\begin{figure}
\parbox[b]{8cm}{
\psfig{figure=bilder/stufen_annih.ps,width=7cm}}
\hspace{.5cm}
\parbox[b]{6cm}{
}
\end{figure}
Der zweite einfache Fall einer Versetzung ist die sogenannte Schraubenversetzung. Hier wird der Kristall (in Gedanken) aufgeschnitten, die Schnittufer werden parallel zur Schnittlinie verschoben und der Kristall wird anschließend wieder zusammengefügt.
Abbildung: Eine Schraubenversetzung in einem Kristall mit zugehörigem Burgersumlauf.
\begin{figure}
\psfig{figure=bilder/schraube.ps,width=12cm,angle=-90}
\end{figure}
Der Burgersvektor einer Schraubenversetzung liegt parallel zur Versetzungslinie. Auch hier erhält man einen Kristall, der um einen Burgersvektor abgeschert ist, wenn die Versetzung den ganzen Kristall durchläuft. Die meisten Charakteristika einer Stufenversetzung gelten auch für eine Schraubenversetzung, mit AUsnahme der festgelegten Gleitebene: da die Schnittebene nicht wirklich existiert (bzw. in jeder Orientierung senkrecht zum Burgersvektor angebracht werden kann), besitzt die Schraube zunächst keine wohldefinierte Gleitebene. Später wird allerdings gezeigt, daß sie aufgrund ihrer inneren Struktur doch eine Vorzugsebene besitzt. Im allgemeinen Fall können Versetzungslinie und Burgersvektor jeden Winkel einschließen; man bezeichnet eine solche Versetzung als gemischte Versetzung mit Stufen- und Schraubenanteil. Auch ist die Richtung der Versetzungslinie anders als der Burgersvektor keine Erhaltungsgröße, eine Versetzung ändert im allgemeinen etwa unter einer äußeren Spannung ihre Linienrichtung.
Abbildung: Ein gekrümmtes Versetzungselement, das vorne als Schraubenversetzung in den Kristall eintritt und als Stufe an der Seite austritt. Der (überall gleiche) Burgersvektor ist $\vec b$
\begin{figure}
\parbox[b]{7cm}{
\psfig{figure=bilder/gemischte_versetzung.ps,width=7cm} }
\hspace{.5cm}
\parbox[b]{6cm}{
}
\end{figure}
Eine Versetzungslinie, die in sich geschlossen ist, wird als Versetzungsring oder -loop bezeichnet. Hier gibt es zwei wichtige Grenzfälle: Natürlich ist auch hier eine Kombination aus beiden denkbar.

3.2 Spannungs- und Verzerrungsfeld einer Versetzung, Linienenergie

Für eine Schraube ergibt sich Verzerrungs- und Spannungstensor sofort aus dem einleuchtenden Ausdruck für das Verschiebungsfeld. Die Verschiebungen um eine Schraube in z-Richtung sind ausschließlich in z-Richtung und verteilen sich dort radialsymmetrisch um die Versetzungslinie. Bei einem kompletten Umlauf um die Linie müssen sie sich zu einem Burgersvektor aufsummieren:
\begin{displaymath}
\vec u(\vec x)=
\left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ {b\over 2\pi}\arctan {y\over x}\end{array}\right)
\end{displaymath} (3.2)

(,,Wendeltreppe``). Daraus folgt als Verzerrungstensor
\begin{displaymath}
\underline{\underline {\varepsilon }} (\vec x)=
\left(\b...
... x^2+y^2}&{b\over4\pi}{x\over x^2+y^2}&0
\end{array}\right)
\end{displaymath} (3.3)

und als Spannungstensor (für ein isotropes Medium)
\begin{displaymath}
\underline{\underline {\sigma}}(\vec x)=
{Gb\over2\pi} \l...
...2+y^2}&{b\over4\pi}{x\over x^2+y^2}&0
\end{array}\right)\,.
\end{displaymath} (3.4)

Im Ursprung (d.h. im Versetzungskern) divergiert das Spannungs- und das Verzerrungsfeld - hier ist die lineare Elastizitätstheorie nicht mehr gültig. Am Verzerrungstensor erkennt man, daß die Schraubenversetzung keine Volumenaufweitung bewirkt, denn $\mathrm Sp\,\underline{\underline {\varepsilon }} = 0$. Der Spannungstensor enthält wie zu erwarten nur Scherspannungen in z-Richtung. Die Energiedichte um die Schruabenversetzung ergibt sich hieraus zu
\begin{displaymath}
E_v={1\over2}\sum_{ij}\sigma_{ij}\varepsilon _{ij}
={Gb^2\over 8\pi^2}\cdot {1\over x^2+y^2}\,.
\end{displaymath} (3.5)

Integriert man dies über die (x,y)-Ebene, erhält man die Energie pro Linienelement der Versetzung, ihre sogenannte Linienenergie:
$\displaystyle \int E_vdxdy$ $\textstyle =$ $\displaystyle 2\pi\int_{R_0}^{R_1}{Gb^2\over 8\pi^2}\cdot {1\over
R^2}RdR$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle {Gb^2\over 4\pi} \ln{R_1\over R_0}\,,$ (3.6)

wobei die Integration innen bei $R_0$ und außen bie $R_1$ abgeschnitten wird, da innen die lineare Elastizitätstheorie nicht mehr gilt, während außen die Verzerrungsfelder irgendwo durch die anderer Versetzungen (oder im Extremfall durch die Probendimensionen) abgeschirmt werden. Üblicherweise setzt man für den inneren Abschneideradius den Burgersvektor und für den äußeren den mittleren Versetzungsabstand, also den Kehrwert der Wurzel aus der Versetzugnsdichte
$\displaystyle R_0$ $\textstyle \approx$ $\displaystyle b$  
$\displaystyle R_1$ $\textstyle \approx$ $\displaystyle \rho^{-1/2}\,.$ (3.7)

Für eine Stufenversetzung sind die Verhältnisse komplizierter, da sie keine Zylindersymmetrie aufweist. Das Verschiebungsfeld für eine Stufenversetzung mit Burgersvektor $\vec b \vert\vert \vec x$ und Linienrichtung $\vec l \vert\vert \vec z$ ist gegeben durch
$\displaystyle u_x$ $\textstyle =$ $\displaystyle {b \over 2 \pi} (\arctan {y\over x} + {1\over 2(1-\nu)}{x y\over
x^2+y^2})$  
$\displaystyle u_y$ $\textstyle =$ $\displaystyle {b \over 2 \pi} (-{1-2\nu\over 2(1-\nu)}\log \sqrt {x^2+y^2} +
{1\over 2(1-\nu)}{y^2\over
x^2+y^2})$ (3.8)
$\displaystyle u_z$ $\textstyle =$ $\displaystyle 0$  

Hieraus folgt der Verzerrungstensor
$\displaystyle \varepsilon_{xx}$ $\textstyle =$ $\displaystyle {\partial u_x\over\partial x}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle {\frac{b\,y\,\left( \left( 3 - 2\,\nu \right) \,{x^2} +
\left( 1 ...
...ht) }{4\,
\left( -1 + \nu \right) \,\pi \,{{\left( {x^2} + {y^2} \right) }^2}}}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle {{b\,r\,\sin\,\phi \,\left( 3\,{r^2}\,{{\cos^2\phi }} -
2\,\nu \,...
...\pi \,
{{\left( {r^2}\,{{\cos^2\phi }} + {r^2}\,{{\sin^2\phi }} \right) }^
2}}}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle {{b\,\left( 2 - 2\,\nu + \cos (2\,\phi ) \right) \,\sin\,\phi }\over
{-4\,\pi \,r + 4\,\nu \,\pi \,r}}$  
$\displaystyle \varepsilon_{yy}$ $\textstyle =$ $\displaystyle {\partial u_y\over\partial y}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle {\frac{-\left( b\,y\,\left( \left( 1 + 2\,\nu \right) \,{x^2} +
\...
...ht) }{4\,
\left( -1 + \nu \right) \,\pi \,{{\left( {x^2} + {y^2} \right) }^2}}}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle {{b\,r\,\sin\,\phi \,\left( {r^2}\,{{\cos^2\phi }} +
2\,\nu \,{r^...
...\pi \,
{{\left( {r^2}\,{{\cos^2\phi }} + {r^2}\,{{\sin^2\phi }} \right) }^
2}}}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle {{b\,\left( 2\,\nu + \cos (2\,\phi ) \right) \,\sin\,\phi }\over
{4\,\pi \,r - 4\,\nu \,\pi \,r}}$  
$\displaystyle \varepsilon_{xy}$ $\textstyle =$ $\displaystyle {1\over2}({\partial u_x\over\partial y}+{\partial u_y\over
\partial x})$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle {\frac{b\,x\,\left( -{x^2} + {y^2} \right) }
{4\,\left( -1 + \nu \right) \,\pi \,{{\left( {x^2} + {y^2} \right) }^2}}}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle {{b\,r\,\cos\,\phi \,\left( -\left( {r^2}\,{{\cos^2\phi }} \right...
...\pi \,
{{\left( {r^2}\,{{\cos^2\phi }} + {r^2}\,{{\sin^2\phi }} \right) }^
2}}}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle {{-\left( b\,\cos\,\phi \,\cos (2\,\phi ) \right) }\over
{4\,\left( -1 + \nu \right) \,\pi \,r}}$ (3.9)

wobei auf Polarkoordinaten $x=r\cos\Phi$, $y=r\sin\Phi$ übergegangen wurde.
Abbildung: Volumenänderung um eine Stufenversetzung
\begin{figure}
\parbox[b]{8cm}{
\psfig{figure=bilder/stufe_delta_v.ps,width=8cm,angle=-90} }
\hspace{.5cm}
\parbox[b]{5cm}{
}
\end{figure}
Um eine Stufe herum findet man als Volumenänderung (Spur des Verzerrungstensors):
$\displaystyle { \Delta V\over V}$ $\textstyle =$ $\displaystyle {\frac{b\,\left( 1 - 2\,\nu \right) \,y}
{2\,\left( -1 + \nu \right) \,\pi \,\left( {x^2} + {y^2} \right) }}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle -{b(1-2\,\nu)\over 2\pi(1-\nu)} {\sin\Phi\over r}\,.$ (3.10)

Auf der x-Achse ($\phi=0$) hat man keine Volumenaufweitung, oberhalb eine Kompression, unterhalb eine Dilatation. Der Spannungstensor folgt entsprechend
$\displaystyle \sigma_{xx}$ $\textstyle =$ $\displaystyle {\frac{b\,G\,y\,\left( 3\,{x^2} + {y^2} \right) }
{2\,\left( -1 + \nu \right) \,\pi \,{{\left( {x^2} + {y^2} \right) }^2}}}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle {{b\,G\,r\,\sin\,\phi \,\left( 3\,{r^2}\,{{\cos^2\phi }} +
{r^2}\...
...\pi \,
{{\left( {r^2}\,{{\cos^2\phi }} + {r^2}\,{{\sin^2\phi }} \right) }^
2}}}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle {{b\,G\,\left( 2 + \cos (2\,\phi ) \right) \,\sin\,\phi }\over
{-2\,\pi \,r + 2\,\nu \,\pi \,r}}$  
$\displaystyle \sigma_{yy}$ $\textstyle =$ $\displaystyle {\frac{b\,G\,y\,\left( -{x^2} + {y^2} \right) }
{2\,\left( -1 + \nu \right) \,\pi \,{{\left( {x^2} + {y^2} \right) }^2}}}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle {{b\,G\,r\,\sin\,\phi \,\left( {r^2}\,{{\cos^2\phi }} -
{r^2}\,{{...
...\pi \,
{{\left( {r^2}\,{{\cos^2\phi }} + {r^2}\,{{\sin^2\phi }} \right) }^
2}}}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle {{b\,G\,\cos (2\,\phi )\,\sin\,\phi }\over {2\,\pi \,r - 2\,\nu \,\pi
\,r}}$  
$\displaystyle \sigma_{zz}$ $\textstyle =$ $\displaystyle {\frac{b\,G\,\nu\,y}
{\left( -1 + \nu \right) \,\pi \,\left( {x^2} + {y^2} \right) }}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle {{b\,G\,\nu \,r\,\sin\,\phi }\over
{\left( -1 + \nu \right) \,\pi \,
\left( {r^2}\,{{\cos^2\phi }} + {r^2}\,{{\sin^2\phi }} \right) }}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle {{b\,G\,\nu \,\sin\,\phi }\over {-\left( \pi \,r \right) + \nu \,\pi
\,r}}$  
$\displaystyle \sigma_{xy}$ $\textstyle =$ $\displaystyle {\frac{b\,G\,x\,\left( -{x^2} + {y^2} \right) }
{2\,\left( -1 + \nu \right) \,\pi \,{{\left( {x^2} + {y^2} \right) }^2}}}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle {{b\,G\,r\,\cos\,\phi \,\left( -\left( {r^2}\,{{\cos^2\phi }} \ri...
...\pi \,
{{\left( {r^2}\,{{\cos^2\phi }} + {r^2}\,{{\sin^2\phi }} \right) }^
2}}}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle {{-\left( b\,G\,\cos\,\phi \,\cos (2\,\phi ) \right) }\over
{2\,\left( -1 + \nu \right) \,\pi \,r}}$ (3.11)

Man findet also zunächst die Druck- und Zugspannungen ober- und unterhalb der Versetzung, dazu aber auch Spannungen in z-Richtung und Scherspannungen. Durch Multiplikation von Spannungs- und Verzerrungstensor folgt wieder die Energiedichte $E_v$
$\displaystyle E_v$ $\textstyle =$ $\displaystyle {{{b^2}\,G\,\left( {r^2}\,{{\cos^2\phi }} + {r^2}\,{{\sin^2\phi }...
...}^2}\,
{{\left( {r^2}\,{{\cos^2\phi }} + {r^2}\,{{\sin^2\phi }} \right) }^
2}}}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle {{{b^2}\,G\,\left( 1 - \nu + \nu \,\cos (2\,\phi ) \right) }\over
{8\,{{\left( -1 + \nu \right) }^2}\,{{\pi }^2}\,{r^2}}}$ (3.12)

und durch Integration über die Fläche die Linienenergie:
$\displaystyle E_L$ $\textstyle =$ $\displaystyle {{{G\,b^2}}\over
{4\,\pi(1 -\nu) }}\cdot\ln {R_1\over R_0 }\,.$ (3.13)

Setzt man hier Zahlwerte etwa für Kupfer ein ($G=40 GPa$, $b=.25nm$, $\nu=1/3$, $R_0=b$, $R_1=10^{-8}m$, erhält man

\begin{displaymath}
E_L \approx 1.8\cdot 10^{-9} J/m = 2.8 eV/b\,,
\end{displaymath}

also einen Wert von einigen eV pro Burgersvektor. Dies ist viel zu groß, als das es durch thermische Aktivierung aufgebracht werden könnte -- Versetzungen sind typische Nichtgleichgewichtsdefekte. Weiter sieht man an der obigen Rechnung, daß die Gesamtenergie einer Versetzung mit ihrer Länge zunimmt. Dies führt auf einen Widerstand gegen Verlängerung, eine Rückstellkraft. Da jede Deformation einer geraden Versetzung eine Vergrößerung ihrer Länge bedeutet, bewirkt dies einen Beitrag zur Linienspannung. Ein weiterer Beitrag rührt aus der etwas unterschiedlichen Linienenergie von Stufe und Schraube: deformiert man etwa eine Schraube, so erhält sie einen gewissen Stufencharakter. Da die Linienenergie der Stufe etwas höher ist $1/(1-\nu) \approx 1.5$, bewirkt dies einen weiteren Beitrag zur Linienspannung. Für eine beliebige Versetzung überlagern sich Spannungs- und Verzerrungsfeld linear aus den Stufen- und Schraubenanteilen. Die Energie ergibt sich damit zu
\begin{displaymath}
E_L(\beta) = {G\,b^2\over4\pi(1-\nu)} (\sin^2\beta +
(1-\nu)\cos^2\beta)\ln{R_1\over R_0}\,,
\end{displaymath} (3.14)

wobei $\beta$ der Winkel zwischen Linienrichtung und Burgersvektor ist.
Abbildung: Herleitung des Ausdrucks für die Linienspannung
\begin{figure}
\parbox[b]{5cm}{
\psfig{figure=bilder/linien_spannung.ps,width=4cm} }
\hspace{.5cm}
\parbox[b]{6cm}{
}
\end{figure}
Für ein gerades Liniensegment, daß kreisförmig mit Krümmungsradius $r$ ausgelenkt werde, so daß es einen Halbwinkel $\phi$ einschließt (Abb. [*]), ergibt sich als Anfangslänge (1)

\begin{displaymath}l_1 = 2r\sin\phi \approx 2r(\phi-{\phi^3\over6}) \end{displaymath}

und als Endlänge (2)

\begin{displaymath}l_2 = 2r\phi\,,\end{displaymath}

als Differenz also

\begin{displaymath}\Delta l =r\cdot\phi^3\over3\,.\end{displaymath}

Die Anfangsenergie ist

\begin{eqnarray*}
E_1 &=& 2r\sin\phi \,E_L(\beta_0)\\
&\approx& 2\phi r E_L(\beta_0)- {\phi^3\over3}r E_L(\beta_0)\,.
\end{eqnarray*}

Die Energie des gekrümmten Segments ist

\begin{eqnarray*}
E_2&=& \int_{Kreisbogen} E_L(\beta)\\
&=& \int_{-phi}^{\p...
...&2\phi r E_L(\beta_0)+ {\phi^3\over3}r{d^2E_L\over d\beta^2}\,.
\end{eqnarray*}

Die Differenz ist

\begin{eqnarray*}
\Delta E&=&E_2 - E_1 \\
&=& {\phi^3\over3}r (E_L(\beta_0)+{d^2E_L\over d\beta^2})\,,
\end{eqnarray*}

die Energieänderung pro Länge, also die Linienspannung
\begin{displaymath}
{\Delta E\over \Delta l} = E_L(\beta_0)+{d^2E_L\over d\beta^2}\,.
\end{displaymath} (3.15)

Mit dem allgemeinen Ausdruck für die Linienenergie ergibt sich als Linienspannung
\begin{displaymath}
{\Delta E\over \Delta l} = {G b^2\over 4 \pi (1-\nu)}\ln{R_1\over R_0}
(1-{\nu\over 2}(1-3\cos 2\beta))\,.
\end{displaymath} (3.16)

Man sieht, daß eine Schraube deutlich steifer ist als eine Stufe.

3.3 Die Wirkung von Spannungsfeldern auf eine Versetzung

Eine äußere Spannung $\underline{\underline {\sigma}}$ leistet an einer Versetzung eine Arbeit
\begin{displaymath}
d A = \vec b\cdot\underline{\underline {\sigma}} d\vec a\,,
\end{displaymath} (3.17)

wenn ein Linienelement $d\vec l$ um eine Strecke $d\vec s$ verschoben wird, die Versetzungslinie also eine Fläche $d\vec a = d\vec l \times d\vec s$ überstreicht. Dies läßt sich (als Spatprodukt) umformen zu
$\displaystyle dA$ $\textstyle =$ $\displaystyle \vec b\cdot\underline{\underline {\sigma}} (d\vec l \times d\vec s)$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle (d\vec l \times d\vec s)\cdot (\underline{\underline {\sigma}} \vec b)$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle (\underline{\underline {\sigma}} \vec b \times d\vec l)\cdot d\vec s\,.$ (3.18)

Der letzte Ausdruck hat die Form ,,Kraft mal Weg`` -- bei Verschiebung des Linienelements $d\vec l$ um eine Strecke $d\vec s$ wird die Arbeit $dA$ gegen eine Kraft
\begin{displaymath}
d\vec K_{pk}:=\underline{\underline {\sigma}} \vec b \times d\vec l
\end{displaymath} (3.19)

geleistet. Diese Kraft wird Peach-Köhler-Kraft genannt. Für eine Stufe ( $\vec b =(b,0,0)$, $d\vec l=(0,dl,0)$) wird dies zu
\begin{displaymath}
d\vec K = \left(
\begin{array}{c}
-\sigma_{xz}\,b\,dl\\
0\\
\sigma_{xx}\,b\,dl
\end{array}
\right)\,.
\end{displaymath} (3.20)

Die x-Komponente treibt die Versetzung in Richtung des Burgersvektors vorwärts sorgt also für die Abgleitung. Wie zu erwarten, ist sie zur Scherspannung proportional und wird als Gleitkraft bezeichnet. Die z-Komponente ergibt sich als Resultat einer Druckspannung auf die x-Fläche, würde also bewirken, daß die eingeschobene Halbebene aus dem Kristall herausgedrückt wird. Eine solche Versetzungsbewegung wird Klettern genannt, die zugehörige Kraftkomponente heißt Kletterkraft. Sie erfordert aber Atomtransport, nämlich An- oder Wegdiffusion zusätzlicher Atome an die eingeschobene Halbebene, ist demnach eine nichtkonservative Bewegung. Dies ist nur bei hohen Temperaturen möglich, bei denen die Diffusion hinreichend schnell ist. Für eine Schraube ( $\vec b =(b,0,0)$, $d\vec l=(dl,0,0)$)findet man
\begin{displaymath}
d\vec K = \left(
\begin{array}{c}
0\\
\sigma_{xz}\,b\,dl\\
-\sigma_{yz}\,b\,dl
\end{array}
\right)\,,
\end{displaymath} (3.21)

die Kraft wirkt also in y- und z-Richtung in gleicher Weise senkrecht zur Linienrichtung. Es existiert keine ausgezeichnete Gleitrichtung, und eine Schraube kann nicht klettern.

3.4 Die Bewegung von Versetzungen

Wie schon oben gesagt, kann eine Stufenversetzung auf zwei Arten im Kristall bewegt werden, nämlich durch Gleiten, der Bewegung der Versetzung in der von Burgersvektor und Versetzungslinie aufgespannten Ebene und durch Klettern senkrecht hinzu. Allerdings bewegt sich die Versetzung in beiden Fällen nicht als ganze sondern zunächst nur lokal. Es bildet sich eine ,,Ausstülpung`` in die Nachbarposition, die dann über die ganze Versetzung hinüberläuft. Im Falle des Gleitens wird diese Ausstülpung Kinke genannt (bzw. eigentlich Kinkpaar), beim Klettern Sprung oder jog.
Abbildung: Bildung eines Kinkpaars auf einer Versetzung. Indem die Kinken auseinanderlaufen bewegt sich die Versetzung in die nächste Position.
\begin{figure}
\parbox[b]{8cm}{
\psfig{figure=bilder/kinke.ps,width=8cm} }
\hspace{.5cm}
\parbox[b]{5cm}{}
\end{figure}
Kinken auf Versetzungen sind im allgemeinen sehr beweglich, während die Erzeugung eines Kinkpaars eine gewisse Zeit erfordern kann. Sprünge hingegen sind relativ unbeweglich; bei Stufen erfordern sie einen Transport von Leerstellen, also Diffusion. Auf Schrauben sind jogs kurze Segmente mit Stufencharakter, denn der Burgersvektor steht hier senkrecht auf der Versetzunglinie. Wenn die Schraube weitergleitet, müßten die jogs klettern, was auf der einen Seite eine Leerstellenanlagerung und auf der anderen einen Abtransport erfordert. Insbesondere die Anlagerung ist natürlich schwierig, wenn nicht im Volumen hinreichend Leerstellen vorhanden sind. Dadurch werden Schrauben häufig durch jogs gepinnt, d.h. lokal in ihrer Bewegung behindert. Der andere jog hingegen kann mitgeschleppt werden, wobei er Leerstellen emittiert. Dies ist einer der wichtigen Prozesse, bei denen durch plastische Verformung Überschußleerstellen erzeugt werden können.
Abbildung: Bildung eines jogpaars auf einer Stufen- und einer Schraubenversetzung. Jogs auf einer Schraube sind Segmente mit Stufencharakter, die für ein Weitergleiten der Schraube klettern müßten.
\begin{figure}
\hspace*{1.5cm}
\psfig{figure=bilder/jog.ps,width=12cm,angle=-90}
\end{figure}

3.5 Versetzungsmultiplikationm, Frank-Read-Quelle

Abbildung: Versetzungsmultiplikation in einer Frank-Read-Quelle: ein gepinntes Versetzungssegment (1) dehnt sich unter einer Spannung aus (2,3), bis es in einer Halbkreisform instabil wird (4). Danach wandern Teile hinter den Verankerungspunkten herum (5-7), bis sie sich wieder treffen. Dort annihilieren sich die Teile mit entgegengesetzten Linienrichtungen und es bleibt ein geschlossener Ring und das ursprüngliche Segment übrig (8)
\begin{figure}
\psfig{figure=bilder/frank_read.ps,width=14cm}
\end{figure}
Wie oben gezeigt, wächst die Linienspannung einer Versetzung mit ihrer Krümmung. Daruas ergibt sich ein wichtiger Mechanismus der Versetzungsmultiplikation im Kristall: Eine Versetzung werde an zwei Hindernissen (etwa jogs auf einer Schraube) festgehalten. Greift nun eine äußere Spannung an, beult sich die Versetzung zwischen den Haltepunkten kreisbogenförmig aus. Der Widerstand, den die Versetzung der Spannung entgegensetzt, steigt zunächst stetig an, da die Krümmung des Bogens zunimmt. Hat sie Halbkreisgestalt (falls man die Richtungsabhängigkeit vernachlässigt wird), wird sie instabil, da nun die Krümmung wieder abnimmt -- sie dehnt sich ohne weiter zunehmende Spannung weiter aus. Hierbei wickelt sie sich, da die Peach-Köhler-Kraft immer in Normalenrichtung wirkt, um die Verankerungspunkte herum, die hintenliegenden Segmente laufen aufeinander zu, bis sie sich treffen und hierbei teilweise annihilieren. Übrig wird das urprüngliche Segment wiederhergestellt und es bleibt ein Versetzungsring um das Segment herum, der sich weiter ausdehnt. Anschließend kann der Prozeß von neuem beginnen. Dieser Mechanismus wird als Frank-Read-Quelle bezeichnet. In ähnlicher Weise gibt es auch andere Möglichkeiten, aus einer Versetzung einen geschlossenen Ring abzulösen und so neue Versetzungen im Kristall zu erzeugen. Die Spannung, bei der die Instabilität einsetzt, wird als Orowanspannung bezeichnet; sie ist gegeben durch
\begin{displaymath}
\tau_p \approx \alpha {G\,b\over l} \,,
\end{displaymath} (3.22)

wobei l der Abstand der Verankerungspunkte ist. $\alpha$ ist ein Zahlfaktor, der vom Charakter der Versetzung und von ihrer Umgebung abhängt.

3.6 Versetzungswechselwirkung

In gewisser Weise hat die Entdeckung der Versetzungen als Vehikel der plastischen Verformung die Diskrepanz zwischen theoretisch erwarteter und experimentell gefundener Schubfestigkeit umgekehrt: es ist jetzt zu erklären, warum die meisten Materialien plastischer Verformung doch einen gewissen Widerstand entgegensetzen. Die erste Ursache hierfür ist die elastische Wechselwirkung paralleler Versetzungen, die später auch für die Erklärung der Verfestigung, d.h. der Zunahme der kritischen Schubspannung mit zunehmender Verformung, benötigt wird. Wir betrachten zunächst zwei Schrauben mit Burgersvektor in z-Richtung. Die erste liege im Ursprung, das Spannungsfeld der zweiten, die die (x,y)-Ebene bei (x,y) durchstoße, ist

\begin{displaymath}
\underline{\underline {\sigma}}_2 = {G\,b_2\over 2\pi}{1\o...
...c}
0&0&-y\\
0&0&x\\
-y&x&0
\end{array}
\right)\,.
\end{displaymath}

Hierdurch wirkt auf Versetzung 1 eine Kraft

\begin{displaymath}
\vec F_{pk} = \underline{\underline {\sigma}} \vec b_1\times d\vec l
\end{displaymath}

mit

\begin{displaymath}
\vec b_1=\left(
\begin{array}{c}
0\\
0\\
b_1
\...
...egin{array}{c}
0\\
0\\
dl
\end{array}
\right)\,.
\end{displaymath}

Dies ergibt
\begin{displaymath}
\vec F_{pk} = {G\,b_1\,b_2\over 2\pi} {1\over r}{\vec r\ov...
...} \quad
r=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ 0\end{array}\right)
\end{displaymath} (3.23)

Haben die Burgersvektoren gleiches Vorzeichen, ist die Kraft abstoßend, sonst anziehend. Da eine Schraube keine ausgezeichnete Gleitebene besitzt, gibt es keine stabile oder metastabile Gleichgewichtsposition. Für Stufen kann die gleiche Rechung durchgeführt werden. Sie liefert
\begin{displaymath}
\vec F_{pk} = {G\,b_1\,b_2\over 2\pi (1-\nu)}{1\over r^4}
...
...in{array}{c}x(x^2-y^2)\\ y(3x^2+y^2)\\ 0\end{array}\right)\,.
\end{displaymath} (3.24)

Die erste Komponente ist die Gleitkraft, die zweite eine Kletterkraft, die bei hinreichend niedriger Temperatur nicht wirkt. Bei hoher Temperatur bewirkt sie eine Anziehung antiparalleler Stufen, die zum Ausheilen führt.
Abbildung: Gleitkraft zwischen zwei parallelen Stufenversetzungen. Die stabile Konfiguration ist für parallele und antiparallele Burgersvektoren eingezeichnet. (Im zweiten Fall würden die Kraftvektoren umgedreht.)
\begin{figure}
\parbox[b]{9cm}{
\psfig{figure=bilder/gleitkraft.ps,width=9cm} }
\hspace{.5cm}
\parbox[b]{4.5cm}{
}
\end{figure}
Die Gleitkraft bewirkt für parallele Stufen eine stabile Anordnung der Versetzungen übereinander, d.h. in Form einer Kleinwinkel-Kippgrenze. Für antiparallele Burgersvektoren ist eine $45^0$-Anordnung stabil, d.h. in einem Stufendipol stehen die Versetzungen nicht, wie man vielleicht erwartet, direkt übereinander sondern schräg gegeneinander verschoben. Wenn zwei parallele Stufen einander passieren, muß ein Kraftmaximum überwunden werden, was durch eine äußere Spannung, die Passierspannung aufzubringen ist. Diese ergibt sich durch Aufsuchen des Kraftmaximums, das bei

\begin{eqnarray*}
x_m &=& (\pm 1\pm\sqrt 2)y_0\\
f(x_m) &=& {1\over4 y _0}\,{G\,b^2\over2\pi(1-\nu)} dl
\end{eqnarray*}

liegt ($y_0$ Abstand der Gleitebenen). Die Gleitkraft durch eine äußere Scherspannung $\tau$ ist $\tau\,b\,dl$, so daß die Passierspannung
\begin{displaymath}
\tau_p={G\,b\over8\pi(1-\nu)}\,{1\over y _0}
\end{displaymath} (3.25)

ist. Sie nimmt also mit abnehmendem versetzungsabstand, d.h. mit zunehmender Versetzungsdichte $\rho$ zu mit $\tau_p\propto \sqrt\rho$. Natürlich wechselwirken auch Versetzungen unterschiedlicher Linienrichtung oder unterschiedlichen Burgersvektors miteinander. Die elastische Wechselwirkung läßt sich in analoger Weise wie für die oben behandelten Fälle berechnen. Dazu kommt die viel stärkere lokale Wechselwirkung beim Schneiden zueinander windschiefer Versetzungen. Hierbei kann eine Versetzungsreaktion stattfinden, bei der natürlich der gesamte Burgersvektor erhalten bleiben muß:
\begin{displaymath}
\vec b_1 + \vec b_2 = \vec b_1' + \vec b_2'\,.
\end{displaymath} (3.26)

Energetisch begünstigt ist eine solche Reaktion, falls
\begin{displaymath}
\vec b_1^2 + \vec b_2^2 > \vec b_1'^2 + \vec b_2'^2
\end{displaymath} (3.27)

Abbildung: Schneiden zweier Schrauben hinterläßt auf beiden einen jog
\begin{figure}
\parbox[b]{9cm}{
\psfig{figure=bilder/schneiden.ps,width=9cm} }
\hspace{.5cm}
\parbox[b]{4.5cm}{
}
\end{figure}
ist. Beim Versetzungsschneiden, dem einfachsten Fall, bleiben die einzelnen Burgersvektoren erhalten, wobei im Schnittpunkt ein Defekt, etwa ein jog entsteht. Dies ist ein wichtiger Härtungsmechanismus, da, wie oben gezeigt, jogs auf Schrauben schwer beweglich sind.
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ferdinand haider
2002-11-12